Graafi orbiit

Graafi orbiit on selle tippude ja/või tipupaaride ekvivalentsusklass, mis on seotud graafi sümmeetria probleemiga.

Graafi, millel on üks tipuorbiit nimetatakse tippudest transitiivseks või -sümmeetriliseks. Graafi, millel on üks servaorbiit nimetatakse servadest transitiivseks või -sümmeetriliseks. Täisgraafil, Peterseni graafil, Heawoodi graafil ja paljudel teistel on üks tipu- ja üks servaorbiit ning neid nimetatakse tugevalt sümmeetrilisteks. Need on erandid, reeglina on graafidel mitu orbiiti. Mida suuremad on orbiidid ja mida vähem neid on seda sümmeetrilisem on graaf. Tipuorbiitide maksimaalarv võrdub tippude arvuga, siis on tegemist nö 0-sümmeetriaga.

Selgitus

Orbiit on siin rühmateooria mõiste. Alamrühma $Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M$ nimetatakse elemendi orbiidiks. Rühm $G$ määrab hulgas $M$ ekvivalentsusklassi $\forall n,\;m\in M\;(n\,\sim _{_{G}}\,m)\Longleftrightarrow (\exists g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow (Gn=Gm).$ ehk orbiidi. Kui ekvivalentsusklasside arv on $k$, siis $M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k},$, kus $m_{1},\;m_{2},\;\ldots ,\;m_{k}\in M$ on paariti mitteekvivalentsed.

Graafi automorfismide rühm

Graafi tippude ja tipupaaride jaotamine orbiitideks on oluline ülesanne. Graafide puhul on selle rühma AutG elementideks graafi automorfismid ja orbiitideks automorfismide transitiivsuspiirkonnad. Sisuliselt kujutab graafi automorfism endast graafi struktuuri säilitavat tippude (või tipupaaride) ümbernummerdamist.

Orbiidi struktuurne käsitlus

Tuleb rõhutada, et graaf on paljuaspektiline moodustis. Graafi struktuur ja selle orbiidid on esitatavad struktuurimudeli kujul. Graafi ühte orbiiti ehk ekvivalentsusklassi kuuluvad elemendid (st tipud ja/või tipupaarid) omavad ühesugust positsiooni graafi struktuuris. Täpsemalt: 1) tippude ühesugune positsioon avaldub tipu elimineerimisel saadud jääkgraafide (alamgraafide) isomorfismis; 2) naabertippude ühesugune positsioon avaldub nendevahelise serva elimineerimisel saadud jääkgraafide (alamgraafide) isomorfismis; 3) mittenaabertippude ühesugune positsioon avaldub nende vahele serva asetamisel saadud ülemgraafide isomorfismis. Graafi orbiitidel on oluline roll graafi struktuuri tuvastamisel ja graafide süsteemi moodustamisel.

Siin tuleb rõhutada asjaolu, et orbiidid on tuvastatavad erinevaid teid pidi: 1) rühmateoreetilisel teel; 2) tipupaaride süvaidentifitseerimise teel; 3) graafi esitava seosmaatriksi astendamise teel.

Orbiitide (positsioonide) põhiaktsioomid

1. Kui graafi $G$ tipud $v_{i},v_{j}$ $\ldots$ kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti) $\Omega _{k}$ siis on alamgraafid $G\setminus v_{i}$ $\simeq$ $G\setminus v_{j}$ $\simeq$ $\ldots$ isomorfsed.

2. Kui graafi $G$ servad $e_{1},e_{2}$ $\ldots$ kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti) $\Omega _{n}$ siis on alamgraafid $G\setminus e_{1}$ $\simeq$ $G\setminus e_{2}$ $\simeq$ $\ldots$ isomorfsed.

3. Kui graafi $G$ mitteservad $ne_{1},ne_{2}$ $\ldots$ kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti) $\Omega _{n}$ siis on ülemgraafid $G\cup e_{1}$ $\simeq$ $G\cup e_{2}$ $\simeq$ $\ldots$ isomorfsed.

Kirjandust

• F. Harary. 1972. Graph Theory. Addison-Wesley, ISBN 0201027879.
• J.-T. Tevet. 2010. Graafide varjatud külgi. S.E.R.R., ISBN 9789949213108.
• J.-T. Tevet. 2017. What is a graph and how to study it. S.E.R.R., ISBN 9879949817559.

Vaata ka

• Graafide identifitseerimine
• Graafi kanooniline esitus
• Graafi sümmeetria
• Graafi paljuaspektilisus
• Graafi struktuur
• Struktuurimudel
• Graafide süsteem
• Orbiitgraaf
• J. Teveti eestikeelne ülevaade (pdf)