Cauchy jada

Fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks nimetatakse (arvude, üldisemalt meetrilise ruumi punktide) jada v_n, mille elemendid indeksi n kasvades üksteisele lõputult lähenevad, st iga etteantud positiivse kauguse korral leidub jada element, millest alates kõik jada elemendid on üksteisest etteantud kaugusest väiksemal kaugusel.

Cauchy jadad on nime saanud prantsuse matemaatiku Augustin-Louis Cauchy järgi. Neil on matemaatilises analüüsis põhjapanev tähtsus.

Arvude fundamentaaljadad on defineeritud mingi arvuhulga suhtes (kui jutt on reaalarvudest, siis peetakse vaikimisi silmas reaalarvude hulka, aga seda hulka võidakse ka eksplitsiitselt kitsendada). Selles hulgas ei pruugi kõikidel fundamentaaljadadel piirväärtust olla, näiteks kõikidel ratsionaalarvude fundamentaaljadadel ei ole piirväärtust ratsionaalarvude seas. Kui ratsionaalarvude fundamentaaljadal ei ole piirväärtust ratsionaalarvude seas, siis reaalarvude hulga suhtes on tal piirväärtus, mis on irratsionaalarv. Iga arvuhulk on meetriline ruum. Meetrilise ruumi punktide kõik fundamentaaljadad koonduvad selles ruumis parajasti siis, kui see ruum on täielik. Reaalarvud moodustavad täieliku meetrilise ruumi, ratsionaalarvud mitte. Mittetäieliku meetrilise ruumi saab täielikustada, lisades uute elementidena nende fundamentaaljadade ekvivalentsusklassid, mis selles ruumis ei koondu. (Fundamentaaljadad on ekvivalentsed, kui nad tulevad üksteisele kui tahes lähedale). Ratsionaalarvude ruumi täielikustamisel saame reaalarvude ruumi.

Reaalarvude fundamentaaljadad

Definitsioon

Reaalarvude jada $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ nimetatakse fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks, kui mis tahes $\varepsilon >0$ korral leidub indeks $N$, millest alates kõik jada elemendid on üksteisest väiksemal kaugusel kui $\varepsilon$:

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad \left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon ,$

kus $|\cdot |$ on arvu absoluutväärtus.

Näited

• Jada $a_{i}={\tfrac {1}{i}}$ on fundamentaaljada. Tõepoolest, mis tahes etteantud $\varepsilon >0$ korral saab valida niisuguse naturaalarvu $N$, et kehtib $N>{\tfrac {1}{\varepsilon }}$. Kui nüüd valida suvalised naturaalarvud $n\geq m>N$, siis kehtib

$|a_{m}-a_{n}|=\left|{\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}\right|=\left|{\frac {n-m}{mn}}\right|<{\frac {n}{mn}}={\frac {1}{m}}<{\frac {1}{N}}<\varepsilon$.

• Jada $a_{i}=i$ ei ole fundamentaaljada. Olgu valitud $\varepsilon ={\tfrac {1}{2}}$ ja olgu $N$ suvaline naturaalarv. Siis saab valida $n=N+1$ ja $m=n+1$ ning alati kehtib

$|a_{m}-a_{n}|=|m-n|=1\geq \varepsilon$.

Koonduv jada on fundamentaaljada

Teoreem. Iga koonduv reaalarvude jada on fundamentaaljada.

Tõestus. Olgu $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ suvaline koonduv jada piirväärtusega $a$. Olgu $\epsilon >0$. Siis leidub $N\in \mathbb {N}$ nii, et kõikide $n,m\in \mathbb {N}$ korral, nii et $n,m\geq N$, kehtib

${\begin{aligned}|a-a_{n}|&<{\tfrac {\epsilon }{2}}\\|a-a_{m}|&<{\tfrac {\epsilon }{2}}\end{aligned}}.$

Olgu $n,m\geq N$ nüüd suvalised. Kolmnurga võrratusest järeldub, et

${\begin{aligned}|a_{n}-a_{m}|&=|(a_{n}-a)+(a-a_{m})|&\leq \underbrace {|a_{n}-a|} _{<\ {\tfrac {\epsilon }{2}}}+\underbrace {|a-a_{m}|} _{<\ {\tfrac {\epsilon }{2}}}<\epsilon \end{aligned}}.$.

Fundamentaaljada on tõkestatud

Teoreem. Iga reaalarvude fundamentaaljada on tõkestatud.

Tõestus. Olgu $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ fundamentaaljada. Niisiis leidub iga $\epsilon >0$ korral niisugune $N\in \mathbb {N}$, et kõikide $n,m\geq N$ korral $|a_{n}-a_{m}|<\epsilon$. Olgu $\epsilon =1$. Niisiis leidub niisugune $N\in \mathbb {N}$, et kõikide $n,m\geq N$ korral $|a_{n}-a_{m}|<1$. Olgu $m=N$, siis kõikide $n\geq N$ korral $|a_{n}-a_{N}|<1.$ Seega asetsevad kõik jada elemendid $a_{n}$, mille korral $n\geq N$, vahemikus $(a_{N}-1,a_{N}+1)$. Seega on kõik jada elemendid alates indeksist $N$ ülalt tõkestatud arvuga $a_{N}+1$ ja alt tõkestatud arvuga $a_{N}-1$:

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{N-1},\,{\color {OliveGreen}\underbrace {a_{N},\,a_{N+1},\,a_{N+2},\,a_{N+3},\,\ldots } _{{\text{Need jada elemendid on }}\leq a_{N}+1{\text{ ja }}\geq a_{N}-1}}).$

Enne elementi $a_{N}$ asetseb ainult lõplik hulk jada elemente $a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{N-1}$. Need on seetõttu tõkestatud. Seetõttu on nad ülalt tõkestatud arvuga $S=\max\{a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{N-1}\}$ ja alt tõkestatud arvuga $s=\min\{a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{N-1}\}$. Saame:

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=({\color {Blue}\underbrace {a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{N-1}} _{{\text{Need jada elemendid }}\leq S{\text{ ja }}\geq s}},{\color {OliveGreen}\underbrace {a_{N},\,a_{N+1},\,a_{N+2},\,a_{N+3},\,\ldots } _{{\text{Need jada elemendid on }}\leq a_{N}+1{\text{ ja }}\geq a_{N}-1}}).$

Kogu jada on niisiis ülalt tõkestatud arvuga $\max\{S,a_{N}+1\}$ ja alt tõkestatud arvuga $\min\{s,a_{N}-1\}$.

Koonduva osajadaga fundamentaaljada on koonduv

Lemma. Iga reaalarvuline fundamentaaljada $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, millel on arvuks $a$ koonduv osajada $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$, koondub selle koonduva osajada piirväärtuseks $a$.

Selgitus. Olgu $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ fundamentaaljada ja $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ selle fundamentaaljada koonduv osajada piirväärtusega $a$. Fundamentaaljada $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definitsiooni järgi jõuavad ja jäävad selle jada elemendid üksteisele kui tahes lähedale. Koonduva osajada elemendid jõuavad ja jäävad koonduva jada definitsiooni järgi kui tahes lähedale arvule $a$.

Olgu $\epsilon >0$. Nüüd tuleb leida niisugune $N\in \mathbb {N}$, et kõikide $n\geq N$ korral $|a_{n}-a|<\epsilon$. Alustame võrratusest $|a_{n}-a|<\epsilon$. Kui jada element $a_{n}$ asetseb osajadas $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$, ei ole sellega probleemi, sest piisavalt suurte indeksite puhul võrratus kehtib. Vaatleme jada elementi $a_{n}$, mis ei ole kõnealuse osajada element. Fundamentaaljada definitsioonist järeldub, et lõpuks peab jada liikme $a_{n}$ mis tahes ümbruses olema osajada elemente. Need aga on piirväärtusele kui tahes lähedal. Kolmnurga võrratusest järeldub, et

${\begin{aligned}|a_{n}-a|&=\left|a_{n}-a_{n_{k}}+a_{n_{k}}-a\right|\\&\leq \left|a_{n}-a_{n_{k}}\right|+\left|a_{n_{k}}-a\right|\end{aligned}}.$

Mõlemad absoluutväärtused saab teha kui tahes väikeseks. Kui mõlemad on väiksemad kui ${\tfrac {\epsilon }{2}}$, siis on $|a_{n}-a|$ kindlasti väiksem kui $\epsilon$. Alustame avaldisest $\left|a_{n_{k}}-a\right|$. Siin leiame indeksi $N_{1}$, mille korral kõikide $k\geq N_{1}$ korral $\left|a_{n_{k}}-a\right|<{\tfrac {\epsilon }{2}}$. Arv $N_{1}$ leidub, sest osajada $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ koondub arvuks $a$.

Vaatame nüüd teist avaldist: leidub niisugune $N_{2}$, et kõikide $n,m\geq N_{2}$ korral $|a_{n}-a_{m}|<{\tfrac {\epsilon }{2}}$. Meil on $a_{m}$ asemel $a_{n_{k}}$. Niisiis tuleb tagada, et $n_{k}\geq N_{2}$. Üldiselt on$n_{k}\geq k$, sest $(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ on naturaalarvude kasvav jada. Seega võime valida $k\geq N_{2}$, sest siis $n_{k}\geq k\geq N_{2}$. Et aga ka $k$ peaks olema suurem kui $N_{1}$, siis valime ükskõik millise $k\geq \max\{N_{2},N_{1}\}$.

Muutuja $n$ esines seni ainult avaldises $|a_{n}-a_{m}|$. Seal me nõudsime, et kehtiks$n,m\geq N_{2}$. Sellepärast me nõuame indeksilt $n$ ainult seda, et see oleks suurem kui$N_{2}$. Sellepärast valime koonduvuse tõestuses $N=N_{2}$.

Tõestus. Olgu $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ Cauchy jada ja $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ selle Cauchy jada koonduv osajada piirväärtusega $a$. Olgu $\epsilon >0$ suvaline. Cauchy jada definitsioonist järeldub, et leidub niisugune $N\in \mathbb {N}$, et kõikide $n,m\geq N$ korral $|a_{n}-a_{m}|<{\tfrac {\epsilon }{2}}$.

Täielikkus

On ratsionaalarvude jadasid, mille liikmed küll kuhjuvad kirjeldatud viisil, kuid millel ei ole piirväärtust ratsionaalarvude hulgas. Üks näide on ratsionaalrvude jada järgmise eeskirjaga (Heroni iteratsioonivalem)

$a_{1}:=1,\quad a_{i+1}:={\frac {a_{i}}{2}}+{\frac {1}{a_{i}}}$.

See jada on fundamentaaljada, aga selle piirväärtus on irratsionaalarv ${\sqrt {2}}$, nii et see ratsionaalarvude hulga piires ei koondu. Asjaolu, et paljude ratsionaalarvuliste fundamentaaljadade piirväärtused ei kuulu ratsionaalarvude hulka $\mathbb {Q}$, viis ideeni, et reaalarve saab konstrueerida ratsionaalarvude hulga täielikustamise teel.

Fundamentaaljadad meetrilistes ruumides

Definitsioon

Üldisemalt defineeritakse fundamentaaljada mõiste meetrilistes ruumides $(X,d)$, st hulkades $X$, millel on antud meetrika $d$. Hulga $X$ elementide jada $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ nimetatakse siis fundamentaaljadaks, kui

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad d(x_{m},x_{n})<\varepsilon .$

See tähendab, iga reaalarvu $\varepsilon >0$ korral leidub indeks $N$, nii et kõikide naturaalarvude $m,n\geq N$ korral on vastavate jadaliikmete kaugus $d(x_{m},x_{n})<\varepsilon$.

Samaväärne geomeetriline formuleering on järgmine: iga $\varepsilon >0$ korral leiduvad punkt $a$ ja indeks $N$, nii et kõik jada elemendid alates elemendist $x_{N}$ asetsevad lahtises keras $B_{\varepsilon }(a)$ raadiusega $\varepsilon$ punkti $a$ ümber. See versioon erineb koonduvuse definitsioonist ainult selle poolest, et siin tohib keskpunkt $a$ sõltuda raadiusest $\varepsilon$, kuna aga koonduvuse korral peab piirväärtus $a$ olema raadiusest $\varepsilon$ sõltumatu.

Täielikkus

Iga koonduv jada meetrilises ruumis on ka fundamentaaljada. Tõepoolest, kui jada $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ koondub ja selle piirväärtus on $x\in X$, siis leidub iga $\varepsilon >0$ korral indeks $N\in \mathbb {N}$, nii et kõikide $n\geq N$ korral$d(x,x_{n})<{\tfrac {\varepsilon }{2}}$. Koos kolmnurga võrratusega, mis meetrilistes ruumides kehtib, järeldub sellest kõikide $m,n\geq N$ korral, et

$d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{m},x)+d(x,x_{n})<{\tfrac {\varepsilon }{2}}+{\tfrac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon ,$

ja järelikult on see jada fundamentaaljada. Ümberpöördu ei pruugi siiski tõsi olla, mistõttu on võetud kasutusele täieliku ruumi (täieliku meetrilise ruumi) mõiste. Täielikus ruumis on definitsiooni kohaselt igal fundamentaaljadal piirväärtus ning koonduva jada mõiste langeb fundamentaaljada mõistega kokku. Ent iga mittetäieliku meetrilise ruumi saab täielikustada, moodustades fundamentaaljadade ekvivalentsusklassid. Seejuures loetakse kaks hulga $X$ elementide fundamentaaljada $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ ja $(y_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ ekvivalentseteks, kui

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad d(x_{m},y_{n})<\varepsilon$

ehk

$\lim _{m,n\in \mathbb {N} }d(x_{m},y_{n})=0$.

Kui ühe jada piirväärtus kuulub hulka $X$, siis kuulub sinna ka teise jada piirväärtus ja need piirväärtused on võrdsed.

Definitsioon

Olgu M meetriline ruum kaugusega $\rho$. Jada $\mathbf {v} _{n}\in M$ nimetatakse fundamentaaljadaks, kui iga positiivse reaalarvu ε > 0 korral leidub selline naturaalarv N, et iga naturaalarvu n, m > N korral kehtib

$\rho (\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{m})\leq \epsilon$.

Seda asjaolu märgitakse lühemalt kujul

$\rho (\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{m}){\underset {n,m}{\to }}0.$

Kui jada $\mathbf {v} _{n}$ on fundamentaaljada, siis öeldakse, et ta koondub fundamentaalselt.

Erinevalt koonduvusest, mis sõltub sellest, millises ruumis jada vaadeldakse, on jada fundamentaalsus tema sisemine omadus.

Vaata ka

• Cauchy kriteerium
• Cauchy võrk