Erinevus lehekülje "Lihtharmooniline võnkumine" redaktsioonide vahel

Mine navigeerimisribale Mine otsikasti
resümee puudub
:<math> {F}=-k{x}, </math>
kus <math>F</math> vedru poolt mõjuv taastav jõud (mõõdetakse njuutonites - N), <math>k</math> on vedru jäikus (ühik - N·m<sup>−1</sup>) ja <math>x</math> on nihe tasakaaluasendist (ühik meeter - m).
 
== Dünaamika ==
Vastavalt [[Newtoni mehaanika|Newtoni mehaanikale]] kirjeldab ühedimensionaalset lihtharmoonilist liikumist konstantsete kordajatega teist järku lineaarne harilik diferentsiaalvõrrand, mille saab tuletada [[Newtoni teine seadus|Newtoni teisest seadusest]] ja [[Hooke'i seadus|Hooke'i seadusest]] vedru otsas oleva massi korral. Nende põhjal on kogu kehale mõjuv jõud <math> F_\mathrm{kogu}</math> võrdne
 
: <math> F_\mathrm{kogu} = m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -kx,</math>
 
kus <math> m</math> on võnkuva keha mass, <math>x</math> on nihe tasakaaluasendist ja <math>k</math> on vedru jäikus. Seega,
 
: <math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{k}{m}x,</math>
 
antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks on sinusoidaalne funktsioon kujul
 
: <math> x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right),</math>
 
kus konstandid <math> {c_1}</math> ja <chem>{c_2}</chem> määravad algtingimused. Lahendit saab kirjutada ka kujul:
 
: <math> x(t) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right),</math>
 
kus
 
: <math> \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad A = \sqrt{{c_1}^2 + {c_2}^2}, \qquad \tan \varphi = \frac{c_2}{c_1}. </math>
 
Kõikidel antud konstantidel on liikumise kirjeldamise jaoks oluline sisu: <math> A</math> on [[amplituud]] (maksimaalne nihe tasakaaluasendist), <math> \omega</math> on [[ringsagedus]] ja <math> \varphi</math> [[algfaas]].
 
Kasutades matemaatilist analüüsi võime leida massi kiiruse ja kiirenduse ajamuutlikuse:
 
: <math> v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sin(\omega t-\varphi),</math>
 
Kiirus:
 
: <math> {\omega} \sqrt {A^2 - x^2} </math>
 
Maksimaalne kiirus: ''v=ωA'' (esineb liikmisel läbi tasakaaluasendi)
 
: <math> a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t-\varphi).</math>
 
Maksimaalne kiirendus: ''Aω''<sup>2</sup> (esineb maksimaalsel kaugusel tasakaaluasendist)
 
Definitsiooni järgi on lihtharmoonilisel liikumises oleva massi ''m'' kiirendus võrdeline tema nihkega.
 
: <math> a(x) = -\omega^2 x.</math>
 
kus
 
: <math> \omega^2=\frac{k}{m}</math>
 
kuna ''ω'' = 2π''f'',
 
: <math>f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}},</math>
 
ja kuna ''T'' = 1/''f'', kus ''T'' periood,
 
: <math>T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.</math>
 
Antud võrrandites on näha, et lihtharmooniline liikumine on [[Isokroonsus|isokroonne]] (periood ja sagedus on amplituudist ja algfaasist sõltumatud).
 
== Energia ==
Asendades ''ω''<sup>2</sup> suurusega ''k/m'', avaldub süsteemi [[kineetiline energia]] ''K'' ajahetkel ''t'' vastavalt
 
: <math> K(t) = \tfrac12 mv^2(t) = \tfrac12 m\omega^2A^2\sin^2(\omega t - \varphi) = \tfrac12 kA^2 \sin^2(\omega t - \varphi),</math>
 
ja potentsiaalne energia
 
: <math>U(t) = \tfrac12 k x^2(t) = \tfrac12 k A^2 \cos^2(\omega t - \varphi).</math>
 
[[Hõõre|Hõõrde]] või teiste liikumist takistavate jõudude puudumisel on süsteemi kogu mehaaniline energia ajas muutumatu suurus ehk konstantne
 
: <math>E = K + U = \tfrac12 k A^2.</math>
 
<br />
[[Kategooria:Mehaanika]]
[[Kategooria:Pendlid]]

Navigeerimismenüü