Lihtharmooniline võnkumine

Lihtharmooniline liikumine on mehaanikas ja füüsikas perioodiline liikumine või võnkumine, kus taastav jõud on võrdeline nihkega tasakaaluasendist ja mõjub vastassuunaliselt nihke suunaga tasakaaluasendist.

Lihtharmooniline liikumine võib olla matemaatiliseks mudeliks paljude erinevatele liikumiste kirjeldamisel. Antud mudeli abil saab ka kirjeldada matemaatilise pendli võnkumist ja molekulaarseid võnkumisi. Lihtharmoonilist liikumist iseloomustab kõige paremini vedru küljes oleva massi liikumine, kui vedru poolt tekitatava taastava jõu suurus allub Hooke'i seadusele. Vastav massi liikumine tasakaalu asendist on ajas sinusoidaalne ja toimub ühel kindlal sagesusel. Pendli võnkumise kirjeldamiseks lihtharmoonilise liikumise abil peab tema nihkel tasakaalu asendist mõjuma samuti antud nihkega võrdeline taastav jõud. Selline olukord realiseerub vaid siis, kui pendel võngub väikese amplituudiga.

Matemaatiliselt peab taastav jõud $F$ võrduma

${F}=-k{x},$

kus $F$ vedru poolt mõjuv taastav jõud (mõõdetakse njuutonites - N), $k$ on vedru jäikus (ühik - N·m⁻¹) ja $x$ on nihe tasakaaluasendist (ühik meeter - m).

Dünaamika

Vastavalt Newtoni mehaanikale kirjeldab ühedimensionaalset lihtharmoonilist liikumist konstantsete kordajatega teist järku lineaarne harilik diferentsiaalvõrrand, mille saab tuletada Newtoni teisest seadusest ja Hooke'i seadusest vedru otsas oleva massi korral. Nende põhjal on kogu kehale mõjuv jõud $F_{\mathrm {kogu} }$ võrdne

$F_{\mathrm {kogu} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,$

kus $m$ on võnkuva keha mass, $x$ on nihe tasakaaluasendist ja $k$ on vedru jäikus. Seega,

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x,$

antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks on sinusoidaalne funktsioon kujul

$x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right),$

kus konstandid ${c_{1}}$ ja ${\ce {c_{2}}}$ määravad algtingimused. Lahendit saab kirjutada ka kujul:

$x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),$

kus

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},\qquad A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},\qquad \tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}}.$

Kõikidel antud konstantidel on liikumise kirjeldamise jaoks oluline sisu: $A$ on amplituud (maksimaalne nihe tasakaaluasendist), $\omega$ on ringsagedus ja $\varphi$ algfaas.

Kasutades matemaatilist analüüsi võime leida massi kiiruse ja kiirenduse ajamuutlikuse:

$v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),$

Kiirus:

${\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}$

Maksimaalne kiirus: v=ωA (esineb liikmisel läbi tasakaaluasendi)

$a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).$

Maksimaalne kiirendus: Aω² (esineb maksimaalsel kaugusel tasakaaluasendist)

Definitsiooni järgi on lihtharmoonilisel liikumises oleva massi m kiirendus võrdeline tema nihkega.

$a(x)=-\omega ^{2}x.$

kus

$\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$

kuna ω = 2πf,

$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},$

ja kuna T = 1/f, kus T periood,

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.$

Antud võrrandites on näha, et lihtharmooniline liikumine on isokroonne (periood ja sagedus on amplituudist ja algfaasist sõltumatud).

Energia

Asendades ω² suurusega k/m, avaldub süsteemi kineetiline energia K ajahetkel t vastavalt

$K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ),$

ja potentsiaalne energia

$U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).$

Hõõrde või teiste liikumist takistavate jõudude puudumisel on süsteemi kogu mehaaniline energia ajas muutumatu suurus ehk konstantne

$E=K+U={\tfrac {1}{2}}kA^{2}.$