Habemeajaja paradoks

Habemeajaja paradoks on hulgateooria ja matemaatilise loogikaga seotud paradoks, Russelli paradoksi üldarusaadav versioon.

Sõnastus

Habemeajaja paradoksi saab esitada üksikasjade poolest erinevates sõnastustes. Sõnastus mõjutab paradoksaalsuse astet ja selle iseloomu.

Tingimus nendinguna

Habemeajaja paradoks räägib linnast, kus on niisugune meeshabemeajaja, kes ajab iga päev habet igal selle linna mehel, kes ise endal habet ei aja, ja mitte kellelgi teisel.

Selgub, et:

• Kui habemeajaja ei aja täna endal habet, siis ta on niisugune selle linna mees, kes täna endal ise habet ei aja, järelikult ajab habemeajaja tal, seega iseendal, täna habet. Niisiis, kui ta ei aja endal habet, siis ta ajab endal habet.
• Kui habemeajaja ajab täna endal habet, siis ta on niisugune selle linna mees, kes täna endal ise habet ajab, järelikult habemeajaja ei aja tal, seega iseendal, täna habet. Niisiis, kui ta ajab endal habet, siis ta ei aja endal habet.
• Habemeajaja kas ajab täna endal habet või ei aja endal habet. Kui ta ajab täna endal habet, siis ta ei aja täna endal habet. Seega ta ajab endal täna habet ja ei aja täna endal habet. Kui aga ta ei aja täna endal habet, siis ta ajab täna endal habet. Seega ta ei aja endal täna habet ja ajab täna endal habet. Nii et tuleb välja, et igal juhul ta ajab endal täna habet ja ei aja endal täna habet.

Et see pole võimalik, siis muidugi võib järeldada, et niisugust linna ei saa olla.

Tingimus reeglina

Teises versioonis võib habemeajaja paradoksi sõnastada nii:

Ühes linnas on niisugune meeshabemeajaja, kes peab habet ajama nendel ja ainult nendel selle linna meestel, kes ise endal habet ei aja.

Selgub, et:

• Kui habemeajaja ajaks endal habet, siis ta rikuks reeglit, sest siis ta ajaks iseendal habet ning siis ei tohiks habemeajaja tal, seega iseendal, habet ajada.
• Kui habemeajaja jätaks endal habeme ajamata, siis ta rikuks reeglit, sest siis ta ei ajaks iseendal habet ning siis peaks habemeajaja tal, seega iseendal, habet ajama.
• Habemeajaja saab kas ajada endal habet või mitte ajada endal habet. Kummalgi juhul rikub ta reeglit.

Analüüs

Kui me jätame ära tingimuse, et habemeajaja on mees, siis ta võib-olla mittemees (näiteks naine) ning sel juhul ei järeldu habemeajaja habeme ajamise kohta mitte midagi.

Paradoksi sõnastuses on oluline, et habemeajaja kuuluks nende isikute ringi, kelle habeme ajamise üle tuleb otsustada.

Seos Russelli paradoksiga

Suhe x ja y (kus x ja y on teatud linna mehed) vahel "x ajab y habet" habemeajaja paradoksis on täpses vastavuses suhtega x ja y vahel (kus x ja y on hulgad) "x on y element" Russelli paradoksis.

Päritolu

Habemeajaja paradoks omistatakse Bertrand Russellile, kes 1901. aastal avastas Russelli paradoksi, mis näitas, et Georg Cantori naiivne hulgateooria on vastuoluline.