Alef-null

Alef-null

Alef-null on loenduva hulga võimsuse tähisena kasutatav kardinaalarv $\aleph _{0}$, vähim kardinaalarv.

$\aleph _{0}$ on naturaalarvude hulga võimsus ja esimene transfiniitne kardinaalarv ehk alef-arv. ZFC tingimustel on $\aleph _{0}$ vähim transfiniitne kardinaalarv selles mõttes, et mis tahes lõpmatul hulgal peab olema alamhulk võimsusega $\aleph _{0}$.

Hulga A võimsus on $\aleph _{0}$ siis ja ainult siis, kui ta on loenduv lõpmatu hulk, st on olemas üksühene vastavus selle hulga ja naturaalarvude hulga vahel.

Niisugused hulgad on näiteks:

• kõigi algarvude hulk
• kõigi täisarvude hulk
• kõigi ratsionaalarvude hulk
• algebraliste arvude hulk
• loenduva hulga elementide kõigi järjestatud ennikute hulk
• loenduva hulga kõigi lõplike alamhulkade hulk

Kui kehtib loenduva valiku aksioom, siis $\aleph _{0}$ on väiksem mis tahes muust transfiniitsest kardinaalarvust.

Kardinaalarv $\aleph _{0}$ on ühtlasi ordinaalarv $\,\omega _{0}$ ehk $\,\omega$), vähim transfiniitne ordinaalarv. Tänapäeval peetakse kõiki kolme tähist põhimõtteliselt ekvivalentseteks. Ajaloolistel põhjustel kasutatakse

• tähist $\,\aleph _{0}$, kui jutt on sellest arvust kui kardinaalarvust
• tähist $\,\omega _{0}$ või $\,\omega$, kui jutt on sellest arvust suuremate ordinaalarvude kontekstis.

Tähistuste erinevus tuleb sellest, et naiivses hulgateoorias mõisteti ordinaalarve täielikult järjestatud hulkade tüüpideni ning kardinaalarve hulkade võimsuste tüüpidena, niisiis objektidena, millel pole teineteisega midagi ühist. Ordinaalarvu $\omega$ mõisteti naturaalarvude hulga täieliku järjestuse tüübina, st järjestustüübina, mis on lõplike täielikult järjestatud hulkade piir. Nähtavasti sellepärast tähistataksegi ordinaalarvu $\omega$ kreeka tähestiku viimase tähega. Seevastu kardinaalarv $\aleph _{0}$ on vähim lõpmatute suuruste tüüpide reas. Sellest tuleb kardinaalarvu tähistamine heebrea tähestiku esimese tähega (suurima võimsuse, kõigi kardinaalarvude klassi võimsuse tähistas Georg Cantor heebrea tähestiku viimase tähega ת (taf).

$\aleph _{0}$ on piirordinaal, piirkardinaalarv ja regulaarne ordinaal.

Vaata ka

• Lõpmatus
• Hulgateooria
• Georg Cantor
• Bertrand Russell
• Alef-funktsioon