Normaalne maatriks

Lineaaralgebras nimetatakse kompleksarvuliste elementidega ruutmaatriksit A normaalseks, kui see kommuteerub oma kaasmaatriksiga:

$A A^{\dagger} = A^{\dagger} A.$

Omadused

Iga maatriks on unitaarse maatriksi abil diagonaliseeritav parajasti siis, kui see on normaalne. See tähendab, et maatriks A on normaalne parajasti siis, kui see on esitatav diagonaalse maatriksi Λ ja unitaarse maatriksi U kaudu nii, et

$\mathbf{A} = \mathbf{U} \mathbf{\Lambda} \mathbf{U}^*$

kus

$\mathbf{\Lambda} = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots)$

$\mathbf{U}^*\mathbf{U} = \mathbf{U} \mathbf{U}^* = \mathbf{I}.$

Tuleb rõhutada, et kuigi iga normaalne maatriks on diagonaliseeritav, pole iga diagonaliseeritav maatriks normaalne.

Maatriksi normaalsusega samaväärsetest tingimustest saab koostada üsna pika nimekirja. Olgu A n×n maatriks. Järgmised väited on samaväärsed:

1. A on normaalne.
2. A on diagonaliseeritav unitaarse maatriksi abil.
3. Iga vektor n-mõõtmelises vektorruumis (üle kompleksarvude) on esitatav maatriksi A ortogonaalsete omavektorite lineaarkombinatsioonina.
4. $\|Ax\| = \|A^*x\|$ iga vektori x korral.
5. $\operatorname{tr} (A^* A) = \sum_j^n |\lambda_j|^2.$ (See tähendab, et maatriksi A Frobeniuse norm on arvutatav A omaväärtuste abil.)
6. Maatriksi A Hermiitiline osa $\frac{1}{2} (A + A^*)$ ja antihermiitiline osa $\frac{1}{2} (A - A^*)$ kommuteeruvad.
7. $A^*$ on esitatav n-1 järku polünoomina maatriksist $A$.
8. $A^* = AU$, kus U on unitaarne maatriks.
9. U ja P kommuteeruvad, kus A = UP on maatriksi A polaarne dekompositsioon (U on unitaarne ja P mittenegatiivne maatriks).
10. A kommuteerub mõne normaalse maatriksiga N, millel pole korduvaid omaväärtuseid.

Erijuhud

Järgnevad kompleksarvulisete elementidega maatriksid on normaalsete maatriksite erijuhud: hermiitlised maatriksid, [[Antihermiitiline maatriks|antihermiitilised maatriksid]} jaunitaarsed maatriksid.

Järgnevad reaalarvuliste elementidega maatriksid on normaalsete maatriksite erijuhud: sümmeetrilised maatriksid, kaldsümmeetrilised maatriksid ja ortogonaalsed maatriksid

Vaata ka

• Normaalne operaator