Normaalne maatriks

Allikas: Vikipeedia

Lineaaralgebras nimetatakse kompleksarvuliste elementidega ruutmaatriksit A normaalseks, kui see kommuteerub oma kaasmaatriksiga:

A A^{\dagger} = A^{\dagger} A.

Omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Iga maatriks on unitaarse maatriksi abil diagonaliseeritav parajasti siis, kui see on normaalne. See tähendab, et maatriks A on normaalne parajasti siis, kui see on esitatav diagonaalse maatriksi Λ ja unitaarse maatriksi U kaudu nii, et

 \mathbf{A} = \mathbf{U} \mathbf{\Lambda} \mathbf{U}^*

kus

 \mathbf{\Lambda} = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots)
 \mathbf{U}^*\mathbf{U} = \mathbf{U} \mathbf{U}^* = \mathbf{I}.

Tuleb rõhutada, et kuigi iga normaalne maatriks on diagonaliseeritav, pole iga diagonaliseeritav maatriks normaalne.

Maatriksi normaalsusega samaväärsetest tingimustest saab koostada üsna pika nimekirja. Olgu A n×n maatriks. Järgmised väited on samaväärsed:

  1. A on normaalne.
  2. A on diagonaliseeritav unitaarse maatriksi abil.
  3. Iga vektor n-mõõtmelises vektorruumis (üle kompleksarvude) on esitatav maatriksi A ortogonaalsete omavektorite lineaarkombinatsioonina.
  4. \|Ax\| = \|A^*x\| iga vektori x korral.
  5. \operatorname{tr} (A^* A) = \sum_j^n |\lambda_j|^2. (See tähendab, et maatriksi A Frobeniuse norm on arvutatav A omaväärtuste abil.)
  6. Maatriksi A Hermiitiline osa \frac{1}{2} (A + A^*) ja antihermiitiline osa \frac{1}{2} (A - A^*) kommuteeruvad.
  7. A^* on esitatav n-1 järku polünoomina maatriksist A.[1]
  8. A^* = AU, kus U on unitaarne maatriks.[2]
  9. U ja P kommuteeruvad, kus A = UP on maatriksi A polaarne dekompositsioon (U on unitaarne ja P mittenegatiivne maatriks).
  10. A kommuteerub mõne normaalse maatriksiga N, millel pole korduvaid omaväärtuseid.

Erijuhud[muuda | redigeeri lähteteksti]

Järgnevad kompleksarvulisete elementidega maatriksid on normaalsete maatriksite erijuhud: hermiitlised maatriksid, [[Antihermiitiline maatriks|antihermiitilised maatriksid]} jaunitaarsed maatriksid.

Järgnevad reaalarvuliste elementidega maatriksid on normaalsete maatriksite erijuhud: sümmeetrilised maatriksid, kaldsümmeetrilised maatriksid ja ortogonaalsed maatriksid

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Tõestus: Kui A on normaalne, siis kasuta Lagrange'i interpoleerimisvalemit et konstrueerida polünoom P nii, et \overline{\lambda_j} =  P(\lambda_j), kus \lambda_j on A omaväärtused.
  2. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press