Laplace'i operaator

Laplace'i operaator on matemaatikas kaks korda diferentseeruvatele mitme muutuja funktsioonidele rakendatav diferentsiaaloperaator, mis ristkoordinaatides avaldub kujul

$\Delta = \nabla^2 = \sum_{i=1}^n {\partial^2\over \partial x_i^2},$

kus $\nabla$ on nabla-operaator ja $\partial / \partial x_i$ tähistab osatuletise võtmise operaatorit muutuja $x_i$ järgi.

Laplace'i operaator eri koordinaadistikes

Kahes dimensioonis

Laplace'i operaatori rakendamine kahe muutuja funktsioonile f(x,y) annab ristkoordinaatides x ja y'

$\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$

Polaarkoordinaatides kehtib

$\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} .$

Kolmes dimensioonis

Kolmes dimensioonis on Laplace'i operaatori kuju olulisemates koordinaatsüsteemides järgmine:

Ristkoordinaatides:

$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.$

Silindrilistes koordinaatides:

$\Delta f = {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho} \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) + {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 }.$

Sfäärilistes koordinaatides:

$\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}.$

($\theta \$ tähistab sfäärilist laiust ja $\phi$ sfäärilist pikkust).

Avaldise ${1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right)$ võib asendada samaväärse avaldisega ${1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( r f \right)$.

N dimensioonis

N-dimensionaalsetes sfäärilistes koordinaatides, mis on parametriseeritud kujul $x=r\theta \in {\mathbb R}^N$, kus $r \in [0,+\infty)$, $\theta \in S^{N-1}$, on Lapalace'i operaatoril kuju

$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1}} f$

kus $\Delta_{S^{N-1}}$ on Laplace'i-Beltrami operaator $N-1$ dimensionaalsel sfääril ehk sfääriline Laplace'i operaator.

Avaldise ${\partial^2 f \over \partial r^2} + \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}$ võib asendada samaväärse avaldisega $\frac{1}{r^{N-1}} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \Bigr).$

Laplace'i operaator diferentsiaalvõrrandites

Laplace'i operaator esineb paljudes olulistes diferentsiaalvõrrandites. Neist mõned on:

Laplace'i võrrand:

$\Delta f = 0 \, ,$

kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse harmoonilisteks funktsioonideks.

Biharmooniline võrrand:

$\Delta^2 f = 0 \, ,$

kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse biharmoonilisteks funktsioonideks.

Poissoni võrrand:

$\Delta f = -g \, ,$

kus g on teadaolev funktsioon.

Lainevõrrand:

$\Delta f = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} \, ,$

kus $v$ on laine liikumise kiirus.

Difusioonivõrrand:

$\frac{\partial f}{\partial t} = k \Delta f$

kus k on konstant.

Schrödingeri võrrand kvantmehaanikas:

$i \hbar \frac{\partial \phi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \phi + V \phi\, ,$

kus $\phi$ on lainefunktsioon, $\hbar$ on taandatud Plankci konstant, m on osakese mass ja $V$ on potentsiaalne energia.

Vaata ka

• Nabla-operaator

Välislingid

• Wolfram MathWorld, Laplacian (inglise keeles)