Laplace'i operaator

Allikas: Vikipeedia

Laplace'i operaator on matemaatikas kaks korda diferentseeruvatele mitme muutuja funktsioonidele rakendatav diferentsiaaloperaator, mis ristkoordinaatides avaldub kujul[1]

 \Delta = \nabla^2 = \sum_{i=1}^n {\partial^2\over \partial x_i^2},

kus \nabla on nabla-operaator ja \partial / \partial x_i tähistab osatuletise võtmise operaatorit muutuja x_i järgi.

Laplace'i operaator eri koordinaadistikes[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kahes dimensioonis[muuda | redigeeri lähteteksti]

Laplace'i operaatori rakendamine kahe muutuja funktsioonile f(x,y) annab ristkoordinaatides x ja y'

\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

Polaarkoordinaatides kehtib

 \Delta f 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
.

Kolmes dimensioonis[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kolmes dimensioonis on Laplace'i operaatori kuju olulisemates koordinaatsüsteemides järgmine:

Ristkoordinaatides:


\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.

Silindrilistes koordinaatides:

 \Delta f 
= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }.

Sfäärilistes koordinaatides:

 \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}.

( \theta \ tähistab sfäärilist laiust ja \phi sfäärilist pikkust).

Avaldise {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) võib asendada samaväärse avaldisega {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( r f \right).

N dimensioonis[muuda | redigeeri lähteteksti]

N-dimensionaalsetes sfäärilistes koordinaatides, mis on parametriseeritud kujul x=r\theta \in {\mathbb R}^N, kus r \in [0,+\infty),  \theta \in S^{N-1}, on Lapalace'i operaatoril kuju

 \Delta f
= \frac{\partial^2 f}{\partial r^2}
+ \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}
+ \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1}} f

kus \Delta_{S^{N-1}} on Laplace'i-Beltrami operaator N-1 dimensionaalsel sfääril ehk sfääriline Laplace'i operaator.

Avaldise {\partial^2 f \over \partial r^2} + \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} võib asendada samaväärse avaldisega \frac{1}{r^{N-1}} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \Bigr).

Laplace'i operaator diferentsiaalvõrrandites[muuda | redigeeri lähteteksti]

Laplace'i operaator esineb paljudes olulistes diferentsiaalvõrrandites. Neist mõned on:

Laplace'i võrrand:

\Delta f = 0 \, ,

kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse harmoonilisteks funktsioonideks.

Biharmooniline võrrand:

\Delta^2 f = 0 \, ,

kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse biharmoonilisteks funktsioonideks.

Poissoni võrrand:

\Delta f = -g \, ,

kus g on teadaolev funktsioon.

Lainevõrrand:

\Delta f = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} \, ,

kus v on laine liikumise kiirus.

Difusioonivõrrand:

\frac{\partial f}{\partial t} = k \Delta f

kus k on konstant.

Schrödingeri võrrand kvantmehaanikas:

i \hbar \frac{\partial \phi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \phi + V \phi\, ,

kus \phi on lainefunktsioon, \hbar on taandatud Plankci konstant, m on osakese mass ja V on potentsiaalne energia.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

Välislingid[muuda | redigeeri lähteteksti]