Graafide identifitseerimine

Graafide identifitseerimine tähendab graafide eristamist, äratundmist või tuvastamist neist tuletatud invariantide põhjal mitmesuguste koodide, vektorite, polünoomide, spektrite jt. näol. Seda nimetatakse ka kanoniseerimiseks .

Graafi identifitseerimine tipupaaride baasil

Identification of graphs by exponantation the adjacency matrix

Graafi $G$ põhiline omadus on tema struktuur, organiseeritus, mis rajaneb elementidevahelistele suhetele. Struktuur ise on kujutatav graafina $G$ kusjuures isomorfsed graafid omavad ühesugust struktuuri. Struktuuri põhilisteks karakteristikuteks on tema sümmeetriaomadused, mis avalduvad sarnaste elementide (tippude ja tipupaaride) näol, mida rühmateooria aspektist nimetatakse graafi orbiitideks (või transitiivsuspiirkondadeks, ekvivalentsusklassideks).

Graafi elementaarosised on tipupaarid (mitte tipud) ja selle elementaarsed sümmeetriaosised on tipupaariorbiidid $\Omega _{n}$. Tipupaare (st tipupaaride vahelisi suhteid) on püütud identifitseerida nende ümbruste ühisosa iseloomustavate invariantide abil struktuurimudeli $SM$ näol .

Efektiivsemaks on osutunud graafi seosmaatriksi astendamine (korrutamine iseendaga). Kui algses seosmaatriksis $E^{1}$ on vaid kaks tipupaaride ekvivalentsusklassi: servad ja mitteservad, siis algse maatriksi korrutamisel iseendaga $E^{1}\cdot E^{1}=E^{2}$ suureneb klasside arv $p$, mis toimub teatud astmeni $E^{n}$, $E^{n-1}\cdot E^{1}=E^{n}$ ja siis seiskub .

Seega, iga astme $n$ korral suureneb tipupaare iseloomustavate astmeelementide $e_{ij}^{n}$ erinevate väärtuste arv $p$. Moodustada nende erinevate väärtuste jada $S_{p}^{n}=e_{1}^{n}<e_{2}^{n}<$ … $<e_{p}^{n}$ . Kui astme $n+1$ korral erinevate väärtuste arv $p$ enam ei suurene, siis peatada korrutamine ja moodustada väärtuste jada $S_{p}^{n}$ baasil igale reale $i$ vastav väärtuste sagedusvektor $u_{i}$. Järjestada (transponeerida) saadud maatriksastme $E^{n}$ read $i$ ja veerud $j$ leksikograafiliselt vastavalt nende sagedusvektoritele $u_{i}$. Saame korrastatud maatriksastme $E_{ord}^{n}$. Salvestada maatriksaste $E^{n}$ ja selle korrastatud maatriksaste $E_{ord}^{n}$.

Nii struktuurimudel $SM$ kui ka maatriksaste $E_{ord}^{n}$ on võrdväärsed, teineteist täiendavad graafide identifitseerimise atribuudid. Kuigi $SM$ eristab ja esitab tippudevahelisi suhteid küllaltki täpselt, võivad need osutuda vahest mittetäielikeks invariantideks. $E^{n}$ elemendid on küll täielikud invariandid, kuid ei erista omavahel graafi servi ega nende puudumist.

Orbiitide (positsiooniklasside) põhiomadused

1. Kui graafi $G$ tipud $v_{i},v_{j}$ $\ldots$ kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti) $\Omega _{k}$ siis on alamgraafid $G\setminus v_{i}$ $\simeq$ $G\setminus v_{j}$ $\simeq$ $\ldots$ isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri.

2. Kui graafi $G$ servad $e_{1},e_{2}$ $\ldots$ kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti) $\Omega _{n}$ siis on alamgraafid $G\setminus e_{1}$ $\simeq$ $G\setminus e_{2}$ $\simeq$ $\ldots$ isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri.

3. Kui graafi $G$ mitteservad $ne_{1},ne_{2}$ $\ldots$ $\ldots$ kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti) $\Omega _{n}$ siis on ülemgraafid $G\cup e_{1}$ $\simeq$ $G\cup e_{2}$ $\simeq$ $\ldots$ isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri.

4. Tipupaari-orbiitide $\Omega _{n}$ baasil saadud isomorfsed alamgraafid kujutavad endast graafi $G$ naaber-alamstruktuuri ja/või naaber-ülemstruktuuri, mida üldistatult lihtsalt naaberstruktuuriks $G^{adj}$ nimetame.

5. Iga naaberstruktuur $G^{adj}$ omab nö reversiivset orbiiti $\Omega ^{r}ev_{n}$ millele rakendatud servaoperatsioon taastab lähtestruktuuri $G$. Seda struktuuridevahelist seost nimetame mofisdmiks.

6. Kõikide n tipuliste naaberstruktuuride jadade parv tühistruktuuri ja täisstruktuuri vahel moodustab n-tipuliste graafide süsteemi. Selle süsteemi graafe võime omakorda kujutada tippudena ja nendevahelisi naabrusi ehk morfisme servadena.

Näiteks: neljatipuliste graafide süsteem kujutab endast 11 elemendilist võre millel on 14 serva; viietipuliste süsteem koosneb 34 struktuurist ja 72 morfismist nende vahel; kuuetipuliste süsteem koosneb 156 struktuurist ja 572 morfismist nende vahel, jne. Kõik see on seotud üleminekutõenäosuste ja ka Ulami hüpoteesiga serva-eralduste aspektist.

7. Graaf, mis koosneb orbiiti $\Omega _{n}$ kuuluvatest servadest nimetatakse orbiitgraafiks $G_{n}$.

Orbiitgraafide omadusi

1. Orbiitgraaf $G_{n}$on tippudest, servadest ja "mitteservadest" sümmeetriline, st omab ühte tipu-, ühr serva- ja ühte "mitteserva" orbiiti.

2. Orbiitgraafid on graafi $G$ lõikumatud osised (alamgraafid).

3. Mõned orbiitgraafid $G_{n}$ võivad olla isomorfsed oma lähtegraafiga $G$ (näiteks, kuubi üks orbiitgraafidest on kuup)..

4. Erinevate graafide orbiitgraafid $G_{n}$ võivad olla isomorfsed või kattuda.

5. Orbiitgraaf omab oma orbiitgraafi mis kujutab endast teist järku orbiitgraafi, neid järkusi võib olla rohkemgi.

6. Kõrgemat järku orbiitgraafid võivad olla isomorfsed või kattuda oma alamat järku orbiitgraafiga või ka lähtegraafiga $G$. Nende moodustumine on koonduv protsess.

Orbiitgraahid avavad lähtegraafi varjatud külgi. Näiteks Folkmani graafi üks orbiitgraaf on Peterseni graaf. Orbiitgraafid avavad erinavate graafide ühesuguseid osiseid. Hüperkuup ja Möbius-Kantori graaf omavad ühesuguseid orbiitgraafe, jne. Orbiitgraafid on olulised vahendid graafi struktuuri ja sümmaatriaomaduste tuvastamisel.

Tulemuste tähendusest

Graafi täielikku identifikaatorit või -invarianti, st identifikaatorit mis eristab graafi selle isomorfismi ja sümmeetriaomaduste täpsusega on otsitud aastakümneid, kuid need ei ole andnud soovitud tulemusi ning huvi nende vastu on raugenud. Lahendusi on püütud leida ka graafi kanoonilise esituse pinnal. Paraku ei sisalda niisugused esitused teavet graafi struktuuri ega selle sümmeetriaomaduste kohta.

Graafe osutus võimalikuks identifitseerida ja esitada nende elementaarsete sümmeetriaomaduste tuvastamise teel saadud struktuurimudeli $SM$või graafi seosmaatriksi astendamise $E_{ord}^{n}$ näol, mis tuvastavad graafi struktuuri isomorfismi täpsusega. Graafide identifitseerimine on struktuurisemiootika üks põhiprobleeme.

Maksimaalne arv $p$ ühesuguste väärtustega astmeelemendid $e_{ij}^{n}$ moodustavad tipupaaride ekvivalentsusklassi, mida rühmateooria aspektist graafi orbbiidiks või transitiivsuspiirkonnaks nimetatakse. Sagedusvektorite $u_{i}$ baasil korrastatud maatriksaste $E_{ord}^{n}$ tuvastab ka tipuorbiidid. Struktuurses aspektist nimetatakse orbiite positsiooniklassideks ehk positsioonideks.

Rühmateoreetilisest aspektist on graafi struktuuri ja sümmeetriaomadusi teadaolevalt varem uurinud tipuorbiitide tasemel vaid B. Weisfeiler .

Oluline on, et rühmateoreetilise ja maatriksastme lähenemiste teel saadud tulemused langevad kokku. Selline graafide identifitseerimise viis viib isomorfismiprobleemi ja Ulami hüpoteesi selgitamiseni ning on seotud graafide süsteemide moodustamisega.

Vaata ka

• Graafi struktuur
• Graafi sümmeetria
• Graafi invariant
• Graafide süsteem

Välislingid

• Identification and systemization of the graphs (pdf)