Isomorfismiprobleem

Allikas: Vikipeedia

Isomorfismiprobleemiks nimetatakse ülesannet konstrueerida efektiivne algoritm, mis antud klassi kahe suvalise algebralise süsteemi korral selgitab, kas nad on isomorfsed või mitte.

Isomorfismiprobleemi on rühmateooria seisukohalt käsitlenud C. Hoffman [1] väites, et rühmade „struktuur” sarnanevat isomorfismiprobleemile. Paraku jääb see sarnasus kõrvaltvaatajale raskelt tabatavaks. See probleem on seni lahendamata paljude oluliste algebra klasside puhul.

Graafide isomorfismi probleem[muuda | redigeeri lähteteksti]

Eriline roll on isomorfismiprobleemil graafide vallas. Selle põhimõtteline teoreetiline algoritm täiesti olemas – see seisneb graafi H seosmaatriksi ridade ja nendele vastavate veergude ümberpaigutamises (permuteerimises, ümberjärjestamises, ümbervahetamises) niikaua, kui see ei lange kokku graafi G seosmaatriksiga. Sellel on üks oluline puudus – see on väga mahukas (keeruline), selle sammude arv läheneb n! (n-faktoriaalini). Omal ajal arvati, et 16! permutatsiooni arvutamine võtaks aega kuni 40 aastat.

Hakati otsima teisi teid graafide isomorfismi tuvastamiseks, mis oli aastail 1970–1980 väga populaarne. Näiteks, S. Toida [2] pakkus selleks tõsimeeli välja „kauguste maatriksi“. Tõepoolest on graafi kaugustemaatriksid omavahel kergemini eristatavad kui seosmaatriksid. Graafide mitteisomorfismi võib nende abil tuvastada „peaaegu alati“, ka isomorfismi tuvastamine võib vahel korda minna.

Selle perioodi algoritme on kriitiliselt analüüsinud R. C. Read ja D. G. Corneil [3] ning G. Gati [4], kes tituleerisid isomorfismiharrastuse „isomorfismihaiguseks“. Isomorfismiprobleem muutus vahepeal koguni tabuks. Selle probleemi sisulist käsitlemist väldivad oma graafiõpikutes paljud. Näiteks B. Bollobas´i „Modern Graph Theory“[5] on isomorfismi-probleemile pühendanud vaid kaks sõna, selles käsitletakse peamiselt „praktilisi“ probleeme nagu vooge võrkudes jne. Siiski tuuakse graafide isomorfismi visuaalne näide ära peaaegu kõikides graafiõpikutes – ja sellega enamasti piirdutaksegi.

Mõned algoritmilist graafiteooriat esitavad oopused, nagu N. Chistofiedese [6] oma, ei sisalda mitte midagi isomorfismiga seonduvat. Kuid tegijaid leidub. Näiteks, seda on lahanud Netšepurenko jt [7] ning esitanud ka sellega seotud algoritme ja arvutiprogramme. L. Babai [8] leiab selleks Monte-Carlo algoritmi sobiva olevat. G. Tinhofer, M. Lödecke, S. Bauman ja L. Babel [9] , väidavad, et isomorfismi probleem on lahendatav Weisfeiler-Lehmani algoritmi abil. C. V. Raj ja M. S. Shivakumar loendavad mitmesuguseid spetsiifilisi atribuute selle probleemi lahendamiseks. Tuleb ära märkida G. Kobler´i, H. Schöning´i ja J. Toran´i monogaafiat [10], kus käsitletakse seda ajalise keerukuse aspektist. Ka K. Thulasirman ja M. N. S. Swamy [11] ning S. Pemmaraju, S. Sciena [12] piirduvad isomorfismi puhul vaid keerukuseprobleemi esile toomisega.

Probleemi ajaline keerukus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Aktuaalne ongi isomorfismiprobleemi käsitlemine ajalise keerukuse (inglise time complexity) seisukohalt. Levinud on arvamus, et see on mitte-polünomiaalne NP (inglise non-polynomial) ning praeguse aja „ametlik arvamus“ peab parimaks E. Luksi (1983) algoritmi ajalise keerukusega 2O(√(n log n)) n-tipulise graafi puhul [13]. Kuid neid on konstrueeritud ja tõestatud ka polünomiaalsetena P nagu seda on A. Dharwadkeri jt [14]. oma. Paljudel juhtudel pole see aga tõestatud. Diskussioonid keerukuse teemal kestavad.

Süstematiseerimine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Isomorfismi tuvastamise meetodite süstematiseerimine on viinud lihtsa skeemini: a) sorteerimise ja mitte-sorteerimis meetodid; b) lokaalsete ja globaalsete invariantide kasutamise meetodid.

Invariantidele rajatud meetodid on viinud isomorfismi tuvastamise graafide kanoonilise esituse tasemele, mis tähendab graafi kujutamist mingil selle struktuuri esitaval kujul, soovitavalt isomorfismi täpsusega. Kanoonilise esituse probleemi püstitas arvatavasti Lazlo Babai [15] 1977. aastal.

Frank Harary [16] järgi on isomorfismiprobleem lahendatav globaalinvariantide (polünoomid, spektrid jt) täieliku süsteemi baasil. S. Locke (http://www.math.fau.edu/locke/isotest) leiab, et isomorfismi testimiseks sobivad hästi kahendsüsteemis esitatud ülipikad 3-kuup-koodid. A. Zõkov [17] on arvamusel, et see on lahendatav graafi tihedust, tsükleid, klikke jne iseloomustavate lokaalsete invariantide baasil.

Samas on isomorfismi mõiste ise sama hajuvaks muutunud nagu on juhtunud struktuuri mõistega. Klassikaliselt on isomorfism defineeritud kui ”bijektsioon, mis säilitab naabrused”. Hassler Whitney (1907–1989) leidis juba 1932. aastal, et „range isomorfism“ on ”bijektsioon, mis säilitab naabrused + veel midagi” [18]. Ülo Kaasik defineerib: ”bijektsioon, mis säilitab struktuuri”, mis on täiesti arusaadav, kuigi ta ei ole struktuuri määratlenud. Peale selle on isomorfism seotud ka struktuursete ekvivalentsusklasside ehk orbiitidega..

Isomorfismiklassid ja kanooniline esitus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Structural equivalence
Graafid ja nende struktuursed mudelid.

Isomorfismiklassid on graafiteoorias hästi rakendatavad. Isomorfismiklassi kuuluvatel graafidel on üks ja seesama struktuur. Seda struktuuri on võimalik kanooniliselt esitada spetsiaalse semiootilise mudeli  S abil [19] [20].

Erinevad graafid  G ja  H omavad ühesuguseid ehk ekvivalentseid struktuurseid mudeleid  S_G ja  S_H  ! See tähendab, et graafid on isomorfsed  G\simeq H ehk nende struktuurid on ekvivalentsed. On tõestatud, et struktuursete mudelite moodustamise ja nende ekvivalentsuse fikseerimise ajaline keerukus on  P [21].

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. C. Hoffman. 1982. Group-Theoretic Algorithms and Graph Isomorphism. Springer.
  2. S. Toida. Isomorphism of graphs. 1973. – Proc. 16th Midwest Symp. Circuit Theory, Waterloo, 1973, XVI. 5.1–5.7.
  3. Read, R. C., Corneil, D. G., 1977. The graph isomorphism disease. J. of Graph Theory, 1 (1977), 339–363.
  4. Gati, G., 1978. Further annotated bibliography on the isomorphism disease. J. of Graph Theory, 3 (1979), 95–109.
  5. B. Bollobás. Modern Graph Theory. 1998. Springer.
  6. N. Christofides. 1975. Graph Theory: An algorithmic approach. Academic Press, N.Y., London, San Francisco
  7. M. Нечепуренко и др. 1990. Алгоритмы и программы решение задач для графов и сетей. Новосибирск.
  8. L. Babai. 1977. On the isomorphism problem. Unpublished manuscript
  9. G. Tinhofer, M. Lödecke, S. Baumann, L. Babel. 1997. STABCOL, Graph Isomorphism Testing on the Weisfeiler-Leman Algorithm.
  10. G. Kobler, H. Schönig, J. Toran. 1993. The Graph Isomorphism Problem: Its Structural Complexity.
  11. K. Thulasiraman, M. N. S. Swamy. 1992 Graphs: Theory and Algorithms. John Wiley & Sons.
  12. S. Pemmaraju, S. Sciena.2003. Computational Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Cambridge University Press
  13. Johnson 2005
  14. A. Dharwadker, J.-T. Tevet. 2009. The Graph Isomorphism Algorithm. Proc. Institute of Mathematics, Amazon Books, ISBN 9781466394374
  15. L. Babai. 1983. Canonical labelling of graphs. – Proc. 15th ACM Symposium on Theory Computing 171–183.
  16. Frank Harary. 1969. Graph Theory. Addison-Wesley.
  17. A. Зыков. 1987. Основы теории графов. Наука
  18. H. Whitney. 1932. 2-isomorphic graphs. – Proc. Of American Mathematical Society, 30, 245–255
  19. J.-T. Tevet. 2002. Isomorphism and Reconstructions of the Graphs: A constructive approach and development. S.E.R.R., Tallinn.
  20. J.-T. Tevet. 2009. Graafi semiootiliste invariantide müsteerium. S.E.R.R., Tallinn. ISBN 9789949183319
  21. A. Dharwadker, J.-T. Tevet. 2009. The Graph Isomorphism Algorithm. Proc. Institute of Mathematics, Amazon Books, ISBN 9781466394374