Graafide süsteem

Graafide süsteem on graafide hulk, mille elementide vahel on fikseeritud seosed. Graafe on süstematiseeritud erinevatest aspektidest. Tavapäraselt on selleks mingi kindel struktuurne omadus, nagu planaarsus, regulaarsus, transitiivsus jne. Palju tööd on tehtud graafide loendamise alal nende tippude ja servade arvu järgi . Paraku ei ole need siiski veel süsteemid, sest neis ei ole fikseeritud vahetud seosed elementide (st graafide) vahel. Need seosed on leitud hilisemate uuringute käigus .

Olgu |V|-tipuliste graafide süsteemi mitteisomorfsete graafide arv on p, sh sidusate arv p* ning märgistatute arv p**. Süsteemi graafid jagunevad servade arvu järgi m nivooks. Seoste arv graafide süsteemis q ja orbiitide arv q*.

Graafide süsteeme tippude arvu |V| järgi:

• Kolmetipulised: p = 4, p* = 2, p** = 8, m = 4, q = 3, q* = 6.
• Neljatipulised: p = 11, p* = 6, p** = 64, m = 7, q = 14, q* = 28.
• Viietipulised: p = 34, p* = 21, p** =1024, m = 11, q = 72, q* = 144.
• Kuuetipulised: p = 156, p* = 112, p** = 32768, m = 16, q = 572, q* = 1144.
• Seitsmetipulised: p = 1044, p* = 853, p** = 2097152, m = 22, q =?

Nivoode arv m vastab täisgraafi servade arvule pluss üks, mis tähendab tühigraafi (st 0 servaga graafi) olemasolu. Graafide arv p, kui: |V| = 8 – 12344, kui |V| = 9 – 276668, kui |V| = 10 – 12005168, kui |V| = 11 – 1018997864 jne. Need aga ei moodusta süsteeme, sest seosed ei ole veel tuvastatud.

Graafide süsteemi atribuutika

Igal graafil $G$ on oma suurimad alamgraafid $G^{sub}$, mis saadakse serva $e_{i,j}$ eemaldamisel $G^{sub} = G\setminus e_{i,j}$ ja oma väikseimad ülemgraafid $G^{sup} = G\cup e_{i,j}$, mis saadakse serva lisamisel. Graafi alamgraafide arv võrdub servade arvuga ja ülemgraafide arv „mitteservade“ arvuga. Saadud graafe nimetagem koos naabergraafideks $G^{adj}$. Nii on |V|-tipuliste graafide süsteemis iga nivoo seotud oma alumise ja ülemise naabernivooga.

Graafi tipppude hulk jaguneb orbiitideks (st teatud tüüpi ekvivalentsusklassideks, transitiivsuspiirkondadeks). Nende raames jaguneb tipupaaride hulk omaette orbiitideks . Iga tipupaari orbiidi raames saadud naabergraafid on isomorfsed ja moodustavad isomorfismiklassi. Graafide süsteemi iga nivoo koosneb aga mitteisomorfsetest graafidest, st erinevaid isomorfismiklasse esindavatest graafidest, ehk struktuuridest.

Seega graafi igale tipupaari orbiidile (binaarorbiidile) vastab üks naaberstruktuur. Need vastavused kujutavad endast seoseid $F$ ehk morfisme $F= G\rightarrow G^{adj}$ naabernivoodel asuvate struktuuride (st isomorfismiklasse esindavate graafide) vahel. Seoste (morfismide) $F$ fikseerimine graafide vahel muudab |V|-tipuliste graafide kogumi graafide süsteemiks $\mathfrak {G} = (G, F)$.

Graafide süsteemi üldised omadused

Kuuetipuliste graafide süsteemi võre esimene pool.

• Graafide süsteem $\mathfrak {G}$ on kujutatav hariliku graafina (täpsemini, võrena).
• Kui nivoode arv m süsteemis on paarisarv (näiteks |V|=6 ja |V|=7 puhul), siis on võre bilateraaalselt sümmeetriline seda poolitava telje suhtes, mis lahutab graafid $G$ nende täienditest $\overline G$.
• Kui nivoode arv m süsteemis on paaritu arv (näiteks |V|=4, |V|=5, |V|=8 ja |V|=9 puhul), siis on poolitavaks teljeks nivoo millel asuvad nii graafid $G$ ja täiendid $\overline G$ kui ka isetäienduvad struktuurid.
• Morfism $F$ on pööratav, graafi igal naaberstruktuuril $G^{adj}$ on „pöördorbiit“, millele rakendatud „pöördmorfism“ $F^{op}$ taastab lähtegraafi $F^{op}= G^{adj}\rightarrow G$.
• Süsteem $\mathfrak {G}$ on otseselt seotud rekonstruktsiooniprobleemiga.

Tõenäosuslikud omadused

• Juhuslikkus süsteemis $\mathfrak {G}$ avaldub naaberstruktuuride valiku, st elementaarsete struktuurimuutuste näol. Tõenäosus on seotud graafi struktuuri sisemise mitmekesisuse, st orbiitidega.
• Suhe $PF_{n}=\left(\frac {m_{n}} {card}\right)$, kus n on binaarorbiidi indeks, $m_{n}$ selle võimsus ja card vastavate tipupaaride arv struktuuris, määrab morfismi tõenäosuse struktuurilt $G$ selle naaberstruktuurile $F_{n}=G\rightarrow G_{n}^{adj}$.
• Morfismi tõenäosuse kõrval on süsteemis määratletav ka ülemineku tõenäosus $P_{i,j}$ lähtestruktuurilt $G_{i}$ mitte-naaberstruktuurile $G_{j}$.
• Süsteemi üleminekutõenäosused $P_{i,j}$ moodustavad statsionaarse markovi ahela.
• Struktuuri olekutõenäosus $PS$ süsteemis $\mathfrak {G}$ iseloomustab selle olekut teiste struktuuride seas struktuurinivool. See avaldub kujul: $PS=\sum_{n=1}^N PS_{n}^{sup}\times PF_{n}^{sub}$, kus n on antud struktuuri (graafi) binaarorbiidi indeks, $PS_{n}^{sup}$ on naaber ülemstruktuuri olekutõenäosus ja $PF_{n}^{sub}$ selle morfismi tõenäosus.
• Struktuurinivool olevate struktuuride olekutõenäosuste summa võrdub ühega, $PS_{m}=\sum PS_{i}=1$.
• Struktuuri ja selle täiendi olekutõenäosused on võrdsed, $PS(G)= PS(\overline G)$.
• Olekutõenäosused $PS$ on ratsionaalarvud, kus selle väikseimad ühisnimetajad on otseselt seotud süsteemi astakuga |V|.
• $PS$ jaotus struktuurinivool on parempoolse asümmeetriaga ja läheneb logaritmilisele normaaljaotusele

Algebralisi omadusi

Morfismidel on süsteemis $\mathfrak {G}$ oluline roll. Nii mõnigi algebraline struktuur iseloomustab selle süsteemi mõnda fragmenti või aspekti. Lihtsalt tõestatavad on järgmised propositsioonid.

• Süsteemi morfismide klass F moodustab kompositsiooni F&F mõttes aditiivse rühma $A$.
• Süsteemi struktuuride klass GS koos morfismide klassiga F moodustab kategooria $C$.

Rakendusi

Esineb reaalseid süsteeme mille toimimist on võimalik kujutada selle struktuuri järkjärgulise muutumise näol ajas. Kui süsteemi $\mathfrak {G}$ struktuure käsitleda reaalse süsteemi seisunditena $S_{t}$ ajahetkel $t$, siis kujutab suktsessioon $SF = S_{t=1}\rightarrow S_{t=2}\rightarrow S_{t=3}\rightarrow$, endast morfismide $F$, kui sisendmõjutuste, poolt genereeritud dünaamilist või evolutsioonilist nähtust. Sellisel viisil on ülesehitatud elegantne kuid abstraktne ontogeneesimudel.

Niisugust lähenemist on rakendatud loodusliku koosluse evolutsiooni ehk tsönogeneesi uurimisel, kus selle seisundid olid esitatud graafidena .

Kokkuvõte

Selliseid graafide süsteeme on praegu võimalik moodustada vaid algoritmilisel teel, täpsemini, semiootilise modelleerimise teel. Ei ole usutav, et keegi oleks üritanud seda teha kombinatoorika või algebra baasil, sest seal puudub vastav atribuutika. Ametlikult tuntakse vaid |V|-tipuliste graafide kogumeid, mitte süsteeme. Esimese, kuni 6-tipuliste graafide kogumi esitas Frank Harary 1969. aastal. Aastal 2004 väljaantud mahukas „Graafiatlases“ on jõutud kuni 7-tipuliste graafide diagrammide ja parameetrite kogumi esitamiseni. Küll aga on see teos tähelepanuväärne oma mahu (üle 10000 graafi), graafide klassifitseerimise ja parameetrite aspektist .

Vaata ka

• Semiotic modelling of the graph systems (pdf)