Friedmanni võrrandid

Alexander Friedmann tuletas need võrrandid üldrelatiivsusteooriast 1920ndatel.

Friedmanni võrrandid on üldrelatiivsusteooriast leitud kosmoloogia võrrandid, mis määravad homogeense ja isotroopse aegruumi evolutsiooni. Võrrandid tuletas esimesena Alexander Friedmann aastal 1922 ja 1924. aastal lisas ka täiendavad võrrandid negatiivse ruumikõveruse jaoks.

Võrrandid

Friedmanni võrrandiks nimetatakse

$H^2 = \frac{8 \pi G }{3}\rho + \frac{k c^2}{R^2}$

ning Friedmanni kiirenduse võrrand on

$\dot{H} + H^2 = \left( \frac{\ddot{a}} {a} \right)^2 = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right)$.

$G$ on Newtoni gravitatsioonikonstant, $\rho c^2$ on energiatihedus, $c$ on valguse kiirus, $R$ on pikkuse dimensiooniga mastaabikordaja ja $p$ on rõhk.

$H$ on Hubble'i parameeter ning on defineeritud kui

$H \equiv \frac{\dot{R}}{R} = \frac{\dot{a}}{a}$.

Kus $a$ on dimensioonitu mastaabikordaja, mis saadakse dimensiooniga mastaabikordaja skaleerimisel väärtusega valitud ajahetkel: $a = R / R_0$.

Ruumikõverust määrav kordaja $k$ võib olla vastavalt mastaabikordaja valikule pidev või diskreetne.

• Kui mastaabikordaja on pikkuse dimensiooniga, siis kõveruse kordaja on dimensioonitu ning võib omada ainult kindlaid väärtusi: +1, 0 ja -1. Väärtusele +1 vastab sfääriline, 0 eukleidiline ning -1 hüperboolne ruum.
• Dimensoonitu mastaabikordaja korral omab kõveruse kordaja pikkuse pöörddimensiooni ning lubatud väärtuste hulk on pidev. Sfäärilisele ruumile vastab k > 0, eukleidilisele k = 0 ning hüperboolsele k < 0.

Võrrandid pole sõltumatud. Esimese võrrandi saab teisest, kui arvestada adiabaatilist paisumist. Lisaks saab teise võrrandi avaldada kujul:

$\dot{\rho} = -3 H \left(\rho + \frac{p}{c^2}\right).$

Kuna kiirenduse võrrand on teist järku tuletise tõttu komplitseeritum, siis kasutatakse rohkem esimest võrrandit.

Tiheduse võib jagada kolmeks teadaolevaks komponendiks:

$\rho = \rho_0 + \frac{\rho_3}{a^3} + \frac{\rho_4}{a^4}$.

Esimene liige vastab vaakumi energiatihedusele ehk kosmoloogilisele konstandile ning on avaldatav kujul $\rho_0 = \Lambda c^2 / 8 \pi G$. Teine liige vastab barüon- ja tumeainele. Kolmas liige vastab kiirgusele. Kuna mastaabikordaja võetakse antud ajahetkel üheks, siis tihedused vastavad hetke hetkeväärtustele. Kiirguse liikmele tekib ruumilisele sõltuvusele $a^{-3}$ lisaks sõltuvus punanihkest $a^{-1}$.

Võrrandite leidmisel eeldatakse kosmoloogilise printsiibi kehtimist, millest saadakse Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker meetrika:

$ds^2 = (c dt)^2 - a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1 - K r^2} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2) \right]$.

Võetakse ideaalse vedeliku energia-impulss tensor

$T_{\mu \nu} = (p + \rho c^2) U_\mu U_\nu - p g_{\mu \nu}$

ning sisestatakse koos meetrikaga Einsteini väljavõrranditesse. Esimene võrrand tuleb 00 komponendist ning teine ruumilise osa jäljest.

Tihedusparameeter

Tihedusparameeter on defineeritud kui tegeliku ja kriitilise tiheduse suhe $\Omega \equiv \rho / \rho_c$. Kriitiline tihedus on defineeritud kui $\rho_c \equiv 3 H^2 / (8 \pi G)$ ning on selline tihedus, mille korral on kindla $H$ väärtuse korral aegruumi ruumiline osa tasane. Kuna Hubble'i parameeter sõltub üldjuhul ajast, siis peab ka kriitiline tihedus ajast sõltuma. $\Omega_0$ tähistab tihedusparameetri hetkelist väärtust.

Tihedusparameeter võib üldiselt koosneda mitmest erinevast komponendist: $\Omega = \sum_{n=-\infin}^{\infin} \Omega_n a^{-n}$. Võime vaadata aega, millal $a = 1$ ning $\Omega = \sum_{n=-\infin}^{\infin} \Omega_n$.

Friedmanni esimesest võrrandist saab leida seose tihedusparameetri ja ruumikõveruse vahel: $\Omega - 1 = \frac{k}{a^2 H^2}$. Sellest järeldub, et ruum on avatud, kui $0 < \Omega < 1$, tasane, kui $\Omega = 1$ ning kinnine, kui $\Omega > 1$.

$\Omega_\Lambda \equiv \frac{\Lambda}{3 H^2}$ on kosmoloogilisele konstandile vastav tihedusparameeter.

Ühekomponendilise ideaalse vedeliku lahendid

Võib eeldada, et universum sisaldab homogeenset ja isotroopset vedelikku. Eeldus on põhjendatud näiteks olukordades, kus osakese keskmine teepikkus on palju suurem interaktsioonide mõjuraadiusest. Vaadates ainult ühte komponenti ning eeldades, et vedelik allub olekuvõrrandile $p = w \rho c^2$, saab leida Friedmanni võrranditele lahendid:

Tasane ruum

$a(t) = a_0 \left( \frac{t}{t_0} \right)^{\frac{3}{2(w+1)}}$

$H \equiv \frac{\dot{a}}{a} = \frac{2}{3(w+1)t} = H_0 \frac{t_0}{t}$

$q \equiv -\frac{a\ddot{a}(t)}{a^2} = \frac{1+3w}{2} = const = q_0$

$t_0 = \frac{2}{3(1+w)H_0}$

$\rho = \rho_0 \left( \frac{t}{t_0} \right)^{-2} = {\frac{1}{6(w+1)^2 \pi G t^2}}$

Kõiki tasase universumi mudeleid iseloomustab mastaabikordaja lõputu kasv ning konstantne aeglustusparameeter $q$. Kui suurendada $w$ väärtust ning seetõttu ka rõhku, siis aeglustusparameeter väheneb ning ruumi paisumine aeglustub. Negatiivsed rõhu väärtused kiirendavad ruumi paisumist.

Kõikidel $w < 1 / 3$ mudelitel eksisteerib singulaarsus kus mastaabikordaja läheneb nullile ning tihedus hajub. Vastavate lahendite nimeks on Suur Pauk. Nullist erineva kosmoloogilise konstandi korral võib singulaarsust vältida.

Mittetasane ruum

Üldjuhul mittetasase juhu jaoks võrrandid analüütiliselt ei lahendu.

Eeldusel, et $a(t)$ on piisavalt suur, saab lahtise juhu jaoks leida lähendi

$a(t) \approx a_0 H_0 (1 - \Omega_0)^\frac{1}{2} t$.

Kinnise juhu puhul eksisteerib punkt

$a_m \equiv a(t_m) = a_0 \left( \frac{\Omega_0}{\Omega_0 - 1} \right)^\frac{1}{1+3w}$,

kus $\dot{a} = 0$, mida läbides on $\dot{a} < 0$ ning $a$ hakkab vähenema sümmeetriliselt kasvuga. Nulli jõudes tekib singulaarsus nimega Big Crunch.

Tolmu või mateeria erijuhul on võimalik võrrandid analüütiliselt lahendada. Lahtise mudeli jaoks on lahendiks:

$a(\Psi) = a_0 \frac{\Omega_0}{2(1-\Omega_0)} \left( \cosh\Psi -1 \right)$

$t(\Psi) = \frac{1}{2 H_0} \frac{\Omega_0}{2(1-\Omega_0)^{3/2}} \left( \cosh\Psi -\Psi \right)$

Kinnise mudeli lahendiks on tsükloid:

$a(\theta) = a_0 \frac{\Omega_0}{2(1-\Omega_0)} \left( 1 -\cos\theta \right)$

$t(\theta) = \frac{1}{2 H_0} \frac{\Omega_0}{2(1-\Omega_0)^{3/2}} \left( \theta - \sin\theta \right)$ .

Erinevad w väärtused

Kui $w < -1$, siis nimetatakse Friedmanni võrrandis esinevat energiat fantoomenergiaks. Sõltumata $w$ väärtusest suureneb fantoomenergia osakaal universumi paisumisel. Kui ei toimu faasiüleminekut ega eksisteeri teisi fantoomenergia liikmeid, siis hakkab fantoomenergia domineerima ning lõpliku aja vältel tekib singulaarsus nimega Big Rip. Singulaarsust iseloomustab seotud struktuuride, näiteks galaktikate ja aatomite, lahtirebimine. Mida negatiivsem on $w$, seda kiiremini saabub singulaarsus.

Kosmoloogilisele konstandile vastab $w = -1$ ning energia on jaotunud ruumis ühtlaselt. Supernoovade standardallikate mõõdetud heledus on tugevam kui tavalisel ainel, kuid $w = -1$ sobib katseandmetega hästi kokku. Lisaks näitab kosmiline mikrolaine taustkiirgus, et kosmoloogilise konstandi tihedus moodustab 70% vajaminevast energiatihedusest, et universum oleks tasane. Kuigi energiatiheduse osa on gravitatsiooniliselt atraktiivne, on rõhu mõju Friedmanni võrrandite põhjal kolm korda suurem, mis põhjustab tumeenergia universumi kiireneva paisumise.

Olukorrale $w = -2 / 3$ vastab ühes suunas piisavalt väike energiajaotus. Saab vastava komponendi ignoreerida ning käsitleda energiajaotust pinnana. Energia ruumjaotus peab olema isotroopne igal ajahetkel ja igas kaasaliikuvas taustsüsteemis. Universumi paisudes jääb pindtihedus konstantseks. Energiat kutsutakse domeeniseinaks. Pinna liikumine risti tasandiga tõstab $w$ väärtuse vahemikku $-2/3 < w < -1/3$.

Kui energiajaotus on kahes suunas gravitatsioonilise horisondiga võrreldes tühine, siis olukorrale vastab $w = -1/3$. Ruumiliselt vastab jaotus joonele. Joontihedus peab olema isotroopne igas kaasaliikuvas taustsüsteemis. Joon on statsionaarne oma pikkuse suunas ning säilitab energia joontiheduse. Jooned ei käitu nagu tavalised osakesed. Joont nimetatakse kosmiliseks stringiks. Kosmilise stringi võivad põhjustada topoloogilised defektid varajases universumis.

Energia, mis evolutsioneerub, kui $w = 0$, on koondunud ühte punkti. Olukorrale vastab näiteks brüonaine, fundamentaalosakesed, tumeaine ja topoloogilised defektid. Samuti sobivad ka eelnevatest moodustatud süsteemid, näiteks mustad augud ja rasked tuumad. Suvalises suunas liikuvale osakesele vastab vahemik $0 < w < 1/3$. Relativistlikel kiirustel suureneb $w$ väärtus kuni $w \approx 1/3$ ning osakest võib käsitleda kiirgusena.

Väärtusele $w = 1/3$ vastab kiirgus. Lisaks tuntud elektromagneetilisele kiirgusele kuulub kiirguse alla ka gravitatsiooniline kiirgus ja neutriinod. Kiirguse alla võiksid kuuluda kõik osakesed, mida on võimalik piirata kolmemõõtmelisse ruumi ja kiirendada relativistlike kiirusteni. Samas kui sundida kiirgus staatilisse ja lõpliku suurusega ruumiossa, siis areneks kiirgus vastavalt $w=0$, sest energiatihedus ei muutuks. Erinevalt $w = 0$ mudelist on kiirgusel nullist erinev rõhk, mille tõttu on kiirguse gravitatsiooniline jõud suurem kui $w = 0$ ainel. Järeldub, et kiirguse dominantne ajastu paisub aeglasemalt, kui mateeria dominantne ajastu.

Ülikergeks energiaks kutsutakse $w > 1/3$. Hüpoteesid vastava energia evolutsiooni kohta tulevad ajas muutuvatest skalaarväljadest.