Jälg (lineaaralgebra)

Ruutmaatriksi jälg on selle maatriksi peadiagonaali elementide summa:

$\mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} \,$,

kus $a_{ij}$ tähistab maatriksi i-ndas reas ja j-ndas veerus asuvat A elementi.

Maatriksi jälg ei sõltu baasi valikust. Seetõttu saab defineerida lineaarteisenduse jälje kui lineaarteisendusele vastava maatriksi jälje. Iga lineaarteisenduse jaoks pole võimalik jälge defineerida.

Omadused

• Jälg on lineaarne teisendus, mis teisendab maatriksi skalaariks:

$\operatorname{tr}(A+B) = \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B)$,

$\operatorname{tr}(cA) = c\operatorname{tr}(A)$,

kus c on skalaar.

• Jälg on invariantne selle argumendi tegurite tsükliliste permutatsioonide suhtes:

$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$

ehk üldiselt

$\operatorname{tr}(A_1 A_2...A_n) = \operatorname{tr}(A_{k+1} A_{k+2}...A_k)$.

• Jälg on invariantne transponeerimise suhtes:

$\operatorname{tr}(A^{T}) = \operatorname{tr}(A)$

• Jälg on invariantne sarnasusteisenduste suhtes:

$\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}((AP) P^{-1}) = \operatorname{tr}(A)$

• Viimasest seosest ja sellest, et igal maatriksil on Jordani normaalkuju, tuleneb, et jälg on maatriksi omaväärtuste summa.

$\operatorname{tr}A = \sum \lambda_i$,

kus $\lambda_i$ on A omaväärtused.

• Seos jälje ja determinandi vahel:

$\det(\operatorname{exp}(A)) = \operatorname{exp}(\operatorname{tr}(A))$,

kus exp on eksponentfunktsioon.

• kui A ja B on positiivsed osaliselt määratud maatriksid, siis

$0 \leq \mathrm{tr}(AB)^n \leq \mathrm{tr}(A)^n \mathrm{tr}(B)^n.\,$.

Vaata ka

• Maatriks
• Determinant