Vaba langemine

Vaba langemine on klassikalises mehaanikas keha liikumine raskusjõu toimel, kui kehale ei mõju muid jõude.

Vastavalt algkiiruse arvväärtusele ja suunale on keha trajektoor erinev. Kui keha seisis enne liikumist paigal, liigub ta raskusjõu sihis seda tekitava keha poole. Kui kehal on algkiirus $v$ , mis ei ole raskusjõuga samas sihis, tekib Kepleri orbiit, mis mitte väga suure kiiruse puhul on viskeparabool.

Prototüüpne juhtum

Üldkeeles mõeldakse vaba langemise all keha liikumist kiirendusega vertikaalselt allapoole, mis tekib, kui keha seisis enne langemist maapinna lähedal maapinna suhtes paigal. See on vaba langemise prototüüpne juhtum.

Raskusväli loetakse homogeenseks ehk ühtlikuks raskusväljaks, st ei arvestata seda, et raskuskiirenduse arvväärtus kõrgusest ja kohast ja raskuskiirenduse suund sõltub kohast. Samuti ei võeta arvesse õhutakistust, üleslükkejõudu ja Maa pöörlemisest tulenevat Coriolisi jõudu. Selline mudel annab paljudel juhtudel hea lähenduse.

Alguses paigalseisev keha langeb homogeenses ruumis vertikaalselt alla maapinna poole ühtlaselt kiirenevalt. Vaba langemise kiirenduse ehk raskuskiirenduse $g$ standardväärtuseks Maa pinnal loetakse 9,80665 m/s² (enamasti kasutatakse lühemat väärtust 9,81 m/s² või 9,8 m/s²) (vt normaalraskuse valem). See näitab, mitme m/s võrra langeva keha kiirus iga sekundiga kasvab. Allapoole näitava koordinaattelje $s$ puhul on raskuskiirenduse $g$ ja kiiruse $v$ märk positiivsed.

Kui valida lähtepunktiks koordinaatide alguspunkt $s=0$ ja lähtehetkeks $t=0$ , siis kiiruse $v(t)$ hetkel t ja selleks hetkeks läbitud teepikkuse $s(t)$ annavad valemid

v(t)=gt

,

s(t)={\frac {1}{2}}gt^{2}

.

Sellest tulenevad langemisaeg ja lõppkiirus pärast langemiskõrguse pikkuse vahemaa $h$ läbimist:

t(h)={\sqrt {\frac {2h}{g}}}

v(h)={\sqrt {2gh}}

Hüpe 5 m kõrguselt hüppelaualt ujulas kestab seega umbes sekundi ja kiirus kasvab umbes 10 meetrini sekundis (36 km/h). Meetri kõrguselt jõutakse kiiruseni 16km/h, kolme meetri kõrguselt kiiruseni 28 km/h. 100-meetrise kasuliku kõrgusega kukkumistorni puhul kestaks vaba langemine üle 4,5 s ja kokkupõrkekiirus on napilt 160 km/h. Kui selles lasta proovikeha kõigepealt selle algkiirusega üles, siis kaaluta oleku aeg pikeneb, ulatudes 9 sekundini.^[1]

Vaba langemine teistel tingimustel

Vaba langemise vertikaalne komponent ei sõltu sellest, kas keha liigub samal ajal ka horisontaalselt.

Vabalt langeva keha trajektoor sõltub algkiirusest. Kui kehal on algkiirus $v$ , mis ei ole raskusjõu sihiline, siis ta liigub Kepleri orbiidil, mis väiksemate kiiruste puhul moodustab viskeparabooli.

Vabalt langev keha on kaaluta olekus. Nii on kaaluta olekus ka Maa ümber tiirlev tehiskaaslane, mis “kukub“ pidevalt talle mõjuva raskuskiirendusega maakera poole, kuid sobivalt valitud kiiruse tõttu eemaldub samavõrra Maast.

Langemine arvestatavas keskkonnas

Pikemalt artiklis Õhutakistusega langemine

Õhutühjas ruumis langevad kõik kehad ühesuguse kiirendusega, mis ei sõltu keha massist, materjalist ega kujust. Mingis keskkonnas (õhus, vees) langemisel mõjub kehale lisaks raskusjõule ka keskkonnatakistus ja ülaltoodud valemid ei kehti või kehtivad teatava ligikaudsusega. Õhutakistuse mõju on kõige ilmsem siis, kui langev objekt on ühteaegu võrdlemisi kerge ja samas suurte mõõtmetega (paberileht, udusulg vms). Ülesvisatud kivi aga kukub maapinna poole peaaegu vaba langemise kiirendusega.

Kehade vaba langemine on õhus, rääkimata näiteks veest või meest, saavutatav ainult ligikaudselt. Udusulg langeb juba 5 cm järel palja silmaga nähtavalt aeglasemalt kui kivike. Lusikas vajub mees aeglasemalt kui vees. Olenevalt ümbritseva õhu tihedusest jõuab langevarjur ka kinnise langevarjuga ainult kiiruseni umbes 200 km/h või kõrgetes hõredates atmosfäärikhtides (stratosfäärihüpe) umbes helikiiruseni.

Väiksemad tolmuosakesed õhus või peenemad liivaterakesed vees vajuvad aeglasemalt kui suuremad, nende settimiskiirus oleneb osakeste ja voolise omadustest.

Langemiskiiruse kasvades vähendab õhutakistus edasist kiirenemist, kuni (asümptootiliselt) jõutakse konstantse piirkiiruseni. See piirkiirus sõltub langeva keha massist ja vormist ning selle määrab kaalu ja ristlõikepindala suhe. Sama materjali korral langevad seetõttu suuremad kerad (näiteks vihmapiiskad) kiiremini kui väiksemad kerad (näiteks udupiisakesed). Eriti väike on piirkiirus keha puhul, mis on kerge (näiteks tolmutera) või millel on suur ristlõikepindala (näiteks puuleht, langevari). Kõrvalekalded vabast langemisest on välisballistika aine.

Uurimislugu

Antiikaeg

Seoses kehade liikumise probleemiga vaatles kreeka filosoof Aristoteles 4. sajandil eKr kehasid niisuguses keskkonnas nagu vesi: rasked kehad liiguvad "oma raskuse" tõttu allapoole, kerged kehad "oma kerguse" tõttu ülespoole („raske“ ja „kerge“ tähendavad siin veest suuremat või väiksemat erikaalu), ja seda ilmselt konstantse kiirusega. Samas keskkonnas vajuvad seetõttu raskemad kehad kiiremini põhja kui vähem rasked, ja eri keskkondades on kiirus pöördvõrdeline keskkonna takistusega. Tühjas ilma keskkonnata ruumis peaks vajumiskiirus siis olema lõpmata suur, järelikult ei saa "vaakumit" olla.

Neid arusaamu laiendasid hilisantiigi, araabia ja skolastilised õpetlased igasugustele liikumistele, kuigi need ei vasta kogemustele viskamisest ja langemisest õhus, mistõttu neis kui vaba langemise üldises omadustes ka kaheldi. Nii kirjeldas juba 55 eKr rooma luuletaja ja filosoof Lucretius teoses "De rerum natura" ("Asjade loomusest"), et langevaid objekte pidurdab ainult keskkonna takistus ja sellepärast peavad kerged kehad langema aeglasemalt, vaakumis aga peavad kõik kehad langema ühesuguse kiirusega. ^[2]

Simplikios (umbes 485 – 550 pKr) teatab, et juba Straton Lampsakosest (340–268 eKr) järeldas veetilkade moodustumisest katuselt kukkumisel kiireneva liikumise.^[3]^[4]

Keskaeg

Esimesed katsed luua raske keha vaba langemise kvantitatiivne teooria tegid keskaja õpetlase, eelkõige Albert Saksimaalt ja Nicolas Oresme. Nad väitsid ekslikult,^[5]^[6] et langeva raske keha kiirus kasvab võrdeliselt teepikkusega. Selle vea parandas Domingo de Soto (1545), kes tegi õige järelduse, et keha kiirus kasvab võrdeliselt langemise algushetkest möödunud ajaga, ja leidis^[7]^[8] seaduse, kuidas teepikkus vabal langemisel sõltub ajast (kuigi ta andis selle sõltuvuse ähmael kujul.

Renessanss

Giovanni Battista Benedetti näitas 1554 mõtteeksperimendi abil kahe üksiku või omavahel seotud kera kohta, et kiirus ei saa sõltuda kaalu ja takistuse jagatisest, vaid keha ja keskkonna erikaalu vahest. Vaakumis peaksid kõik ühesuguse tihedusega kehad langema ühesuguse kiirusega. Seda kinnitas õhukeskkonna puhul 1586 Simon Stevin ühega uusaegse loodusteaduse esimestest otsustavatest eksperimentidest^[9], kuuldes kahte eri raskusega pliikera üheaegsel langemisel umbes 10 kõrguselt üheaegsellt vastu maad põrkamas. Galilei, kellele on sageli omistatud selle katse tegemine mõni aasta hiljem Pisa viltusest tornist, ei teinud seda tõenäoliselt kunagi.^[10]^[11]

Galilei langemisseadused

David Randolph Scott demonstreerib 1971 Kuu pinna vaakumis der haamri ja pistrikusule abil Galilei teesi, et kõik kehad langevad sõltumata massist ühesuguse kiirusega

Seevastu Galileo Galilei oli kirjutises "De motu" ("Liikumisest"; umbes 1590) veel Aristotelese poolel: "Kui lasta pliist ja puidust keral kõrgest tornist kukkuda, jõuab plii kaugele ette."^[12] Alles pärast eksperimente viltusel tasapinnal, täpsete mõõtmistega ja nende matemaatilise analüüsiga sai Galilei 1609 vaba langemist matemaatiliselt korrektselt kirjeldada ning sellega Aristotelese kirjelduse kummutada. Tal ei olnud seejuures veel täpset ajamõõtjat ning sellepärast ta aeglustas liikumist, lastes eral veerennist alla veereda. Ajamõõtjaks oli näiteks täpne kaal, millega sai mõõta vee hulka, mis teatud vahemaad läbides oli peene joana peekrisse voolanud. Ta kasutas perioodiliste mürade rütmi täpsuse üle otsustamiseks ka pulssi ja kuulmist. Oma viimases teoses paneb Galilei Salviatile, oma tollaste vaadete kehastusele, suhu järgmise kokkuvõtte:^[13] "veduto, dico, questo, cascai in opinione che se si levasse totalmente la resistenza del mezzo, tutte le materie descenderebbero con eguali velocità" ("seda näinud, ütlen ma, hakkasin ma arvama, et kui keskkonna takistus täielikult lakkaks, langeksid kõik ained võrdse kiirusega"; Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno à due nuove scienze, 1638). Seda Galilei hilist teost peetakse ka sellepärast klassikalise füüsika alguseks, et seal esitatakse "Galilei langemisseadused“: vaakumis langevad kõik kehad ühesuguse kiirusega, ja nende liikumine on ühtlaselt kiirenev.^[14] Teiste sõnadega, nende langemiskiirus on võrdeline langemisajaga, langemistee pikkus on võrdeline langemisaja ruuduga (selle viimase väite formuleeris Galilei esimesena selgelt"). Kiirendus on samas kohas kõikide kehade puhul ühesuurune. See on nõrk ekvivalentsusprintsiip.

Newtoni gravitatsiooniseadus

Isaac Newton formuleeris 1687 avaldatud teoses "Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica" ühtse gravitatsiooniseaduse. Selle tema auks Newtoni gravitatsiooniseaduseks nimetatud seaduse abiga saab nüüd seletada nii planeetide ja nende kaaslaste orbiite kui ka objektide vaba langemist maa peal. Newton piirdus selle matemaatilise seadusega ja hoidus igasugustest edasistest seletustest, miks gravitatioonijõud annab kõikidele kehadele samas kohas võrdse kiirenduse olenemata nende koostisest ja muudest omadustest.^[15]

Kaalutuse demonstreerimine

Algul Gottfried Wilhelm Leibniz ja 1892–1893 Nikolai Ljubimov tegid katseid, mis demonstreerivad kaalutuse teket vabal langemisel. ^[16]

Üldrelatiivsusteooria

Gravitatsiooni sügavam kirjeldus leiti alles üldrelatiivsusteooria raames.

Albert Einstein eeldas oma üldrelatiivsusteoorias, et loomulik taustsüsteem ei ole mitte see, Maa seisab paigal ja mõjub raskusjõud, vaid see, milles vabalt langev keha seisab paigal. Seal on vaba langemine täiesti jõuvaba, st keha on "kaalutu". Maa taustsüsteemis täheldatav gravitatsioonijõud kuulutatakse sellega näivaks jõuks. Einsteini tugevast ekvivalentsusprintsiibist järeldub, et ka valgus "langeb" kiirendusega langevas taustsüsteemis sirgjooneliselt, mis on eksperimentaalselt kinnitatud.

Viited

↑ Der Fallturm Bremen^{[alaline kõdulink]}, zarm.uni-bremen.de.
↑ De rerum natura 2.2, Deklination der Atome, Zeno.org.
↑ David Deming. Science and Technology in World History, Volume 1: The Ancient World and Classical Civilization, McFarland 2014, ISBN 978-0-7864-5657-4, lk 130.
↑ John Freely. Platon in Bagdad: Wie das Wissen der Antike zurück nach Europa kam, Klett-Cotta 2012, ISBN 978-3-608-10275-8, lk 35.
↑ Моисеев Н. Д. Очерки истории развития механики, М.: Изд-во Моск. ун-та 1961, lk 100–101.
↑ Тюлина И. А. История и методология механики, М.: Изд-во Моск. ун-та 1979, lk 51.
↑ Моисеев Н. Д. Очерки истории развития механики, М.: Изд-во Моск. ун-та 1961, lk 105.
↑ Тюлина И. А. История и методология механики, М.: Изд-во Моск. ун-та 1979, lk 53—54.
↑ Stillman Drake. Galileo Studies, University of Michigan Press: Ann Arbor 1970, lk 30.
↑ Friedrich Hund. Geschichte der physikalischen Begriffe, kd 1, 2. trükk, BI Hochschultaschenbücher: Mannheim 1978.
↑ Károly Simonyi. Kulturgeschichte der Physik, Harri Deutsch: Thun 1990, lk 210.
↑ Armin Hermann. Weltreich der Physik. Von Galilei bis Heisenberg, Bechtle: Esslingen 1980, lk 12.
↑ Armin Hermann. Fallgesetze. – Armin Hermann (toim). Lexikon Geschichte der Physik A–Z. Biographien und Sachwörter, Originalschriften und Sekundärliteratur, 2. trükk, Aulis Verlag Deubner: Köln 1978, lk 102.
↑ Armin Hermann. Weltreich der Physik. Von Galilei bis Heisenberg, Bechtle: Esslingen 1980, lk 13.
↑ Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson. Angewandte Mathematik: Body and Soul, kd 3, Springer-Verlag: Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-24340-3.
↑ Перельман Я. И. Межпланетные путешествия. Начальные основания звездоплавания, 6. trükk, Л.: Прибой.

Välislingid

[1] Der Fallturm Bremen^{[alaline kõdulink]}, zarm.uni-bremen.de.

[2] De rerum natura 2.2, Deklination der Atome, Zeno.org.

[Deming2014-3] David Deming. Science and Technology in World History, Volume 1: The Ancient World and Classical Civilization, McFarland 2014, ISBN 978-0-7864-5657-4, lk 130.

[Freely2012-4] John Freely. Platon in Bagdad: Wie das Wissen der Antike zurück nach Europa kam, Klett-Cotta 2012, ISBN 978-3-608-10275-8, lk 35.

[5] Моисеев Н. Д. Очерки истории развития механики, М.: Изд-во Моск. ун-та 1961, lk 100–101.

[6] Тюлина И. А. История и методология механики, М.: Изд-во Моск. ун-та 1979, lk 51.

[7] Моисеев Н. Д. Очерки истории развития механики, М.: Изд-во Моск. ун-та 1961, lk 105.

[8] Тюлина И. А. История и методология механики, М.: Изд-во Моск. ун-та 1979, lk 53—54.

[Drake_1970-9] Stillman Drake. Galileo Studies, University of Michigan Press: Ann Arbor 1970, lk 30.

[Hund_1978-10] Friedrich Hund. Geschichte der physikalischen Begriffe, kd 1, 2. trükk, BI Hochschultaschenbücher: Mannheim 1978.

[Simonyi_1990-11] Károly Simonyi. Kulturgeschichte der Physik, Harri Deutsch: Thun 1990, lk 210.

[12] Armin Hermann. Weltreich der Physik. Von Galilei bis Heisenberg, Bechtle: Esslingen 1980, lk 12.

[13] Armin Hermann. Fallgesetze. – Armin Hermann (toim). Lexikon Geschichte der Physik A–Z. Biographien und Sachwörter, Originalschriften und Sekundärliteratur, 2. trükk, Aulis Verlag Deubner: Köln 1978, lk 102.

[14] Armin Hermann. Weltreich der Physik. Von Galilei bis Heisenberg, Bechtle: Esslingen 1980, lk 13.

[15] Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson. Angewandte Mathematik: Body and Soul, kd 3, Springer-Verlag: Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-24340-3.

[16] Перельман Я. И. Межпланетные путешествия. Начальные основания звездоплавания, 6. trükk, Л.: Прибой.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]