Määratud integraal

Allikas: Vikipeedia
Funktsiooni määratud integraal on arvuliselt võrdne sinisega tähistatud ala pindala ja kollasega tähistatud ala pindala vahega.

Olgu reaalmuutuja funktsioon f(x) pidev ja tõkestatud lõigus [ab], siis määratud integraal

\int_a^b f(x)\,dx \,

on arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni \ f(x) graafiku, x-telje ning vertikaalsete sirgetega x = a ja x = b piiratud kujundi märgiga pindalaga, s.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega.

Newtoni-Leibnizi valem[muuda | redigeeri lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Newtoni-Leibnizi valem

Olgu funktsioon \ f(x) lõigus [ab] integreeruv ja leidugu tal selles lõigus algfunktsioon \ F(x). Siis

\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a)\,

Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [a; b] nimetatakse integreerimislõiguks.

Näide[muuda | redigeeri lähteteksti]

\int_0^2 2x\,dx = x^2\Big|_0^2 = 2^2 - 0^2 = 4\,

Riemanni integraalsumma[muuda | redigeeri lähteteksti]

Riemanni summa koondub, kui osalõike vähendada ükskõik mis viisil.

Olgu a ja b reaalarvud (a < b), siis lõigu [a,b] saab jaotada osalõikudeks nii, et

 a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!

Lõigu [a,b] n osalõiguks [xi−1, xi] jaotamisel (i=1,2,...,n) ja fikseerides igas osalõigus suvaliselt mingi punkt ti ∈ [xi−1, xi], avaldub funktsiooni f(x) Riemanni integraalsumma lõigus [a, b] kujul

\sigma = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) (x_{i}-x_{i-1}),

kus iga liige summas on väikese ristküliku pindala. Ristküliku kõrgus on võrdne funktsiooni väärtusega kohal ti ja laius on sama mis osalõigu [xi−1, xi] pikkus Δi. Olgu Δi = xixi−1 osalõigu i pikkus; siis osalõikude maksimaalne pikkus on λ=max1≤in Δi. Seega esindab λ kõiki selliseid jaotusi, sõltumata jaotusviisist, kus osalõikude [xi−1, xi] maksimaalne pikkus on λ. Kui eksisteerib piirväärtus

\lim_{\lambda \to 0} \sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i .

mis ei sõltu lõigu [a; b] osalõikudeks jaotamise viisist ja punktide ti valikust, siis kõneldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigus [a; b] .

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]