Mine sisu juurde

Lõplik hulk

Allikas: Vikipeedia

Matemaatikas nimetatakse lõplikuks hulgaks hulka, mille puhul mõnd naturaalarvu (kaasa arvatud null) saab nimetada tema elementide arvuks.

Nii näiteks on hulk

lõplik hulk, mille elementide arv on 4. Tühihulgal definitsiooni järgi elemendid puuduvad, st on selle elementide arv, sellepärast loetakse seda lõplikuks hulgaks.

Lõpliku hulga võimsust samastatakse mõne naturaalarvuga. Näiteks kirjutatakse siis , et väljendada, et hulgal on 4 elementi.

Hulka, mis ei ole lõplik, nimetatakse lõpmatuks hulgaks.

Lõpliku hulga võib samaväärselt defineerida kui hulga, mis pole võrdvõimas ühegi oma pärisalamhulgaga[1] (vt #Dedekindi definitsioon).

Definitsioon

[muuda | muuda lähteteksti]
Punaste nooltega näidatud bijektsioon näitab, et ning hulk on seega lõplik

Hulka nimetatakse lõplikuks, kui leidub naturaalarv (mis võib olla null,) nii, et leidub bijektsioon

hulgast kõikide arvust väiksemate naturaalarvude hulgale .

Selle definitsiooni järgi on tühihulk lõplik, sest triviaalsel moel leidub bijektsioon hulgast tühihulgale (kõikide arvust väiksemate naturaalarvude hulgale).

Nii näiteks on hulk

lõplik, sest eksisteerib bijektsioon sellelt hulgalt hulgale

(vaata joonist).

Seevastu ei leidu bijektsiooni kõikide naturaalarvude hulgast

lõplikule hulgale, nii et hulk on lõpmatu.

Alternatiivse definitsiooni järgi nimetatakse hulka S lõplikuks, kui ta on tühihulk või kui leidub bijektsioon

mõne naturaalarvu n korral. Arvu n nimetatakse hulga S võimsuseks.

Lõplike hulkade omadusi

[muuda | muuda lähteteksti]
  • Lõpliku hulga iga alamhulk on lõplik.
  • Kui on lõplik hulk ja on suvaline hulk, siis on nii ühisosa kui ka vahe lõplikud hulgad, sest mõlemad on hulga alamhulgad.
  • Kui on lõplikud hulgad, siis on ka nende ühend Vereinigungsmenge lõplik. Selle võimsus
        .
    Kui ja on lõplikud ja ühisosata hulgad, (), siis
        .
  • Lõpliku arvu lõplike hulkade ühend on lõplik hulk. Selle võimsus on antud inklusiooni ja eksklusiooni printsiibiga.
  • Kui hulk on lõpmatu ja hulk on lõplik, siis nende vahe on lõpmatu.
  • Lõpliku hulga astmehulk on suurema võimsusega kui see hulk ise, kuid lõplik; kehtib .
  • Lõplike hulkade otsekorrutis on lõplik. Selle võimsus on suurem kui kummalgi teguril, kui kumbki tegur ei ole tühihulk ja mõlema teguri võimsus on suurem kui . Lõplike hulkade otsekorrutise võimsus . Lõpliku arvu lõplike hulkade otsekorrutis on lõplik hulk.

Dedekindi definitsioon

[muuda | muuda lähteteksti]

Teine lõpliku hulga definitsioon pärineb Richard Dedekindilt. See on niisugune:

Hulka nimetatakse lõplikuks, kui see ei ole võrdvõimas ühegi oma pärisalamhulgaga, vastasel juhtumil lõpmatuks.

Tänapäeval räägitakse Dedekindi lõplikkusest ja Dedekindi lõpmatusest. .

Et matemaatilise induktsiooni teel näidata, et iga lõplik hulk on ka Dedekindi-lõplik, piisab, kui näidata järgmist:

  1. Tühi hulk ei ole võrdvõimas ühegi oma pärisalamhulgaga.
  2. Kui hulk ei ole ühegi oma pärisalamhulgaga võrdvõimas, siis ei ole ka hulk ühegi oma pärisalamhulgaga võrdvõimas.

(Punkt 1 on selge, sest tühihulgal ei ole pärisalamhulki. Punkti 2 juures tuleb näidata, et bijektsioonist hulgast hulga pärisalamhulgale võib konstrueerida bijektsiooni hulgast selle pärisalamhulgale .)

Ümberpöördult, iga Dedekindi-lõplik hulk on ka lõplik, sest kui oleks lõpmatu, siis peaks valikuaksioomi põhjal leiduma paarikaupa erinevate elementide jada Kujutus

  korral
korral

on hästi defineeritud, sest kui , siis leidub üheselt määratud nii, et . See näitab, et on võrdvõimas oma pärisalamhulgaga ja seetõttu ei ole ta Dedekindi-lõplik – mis on eeldusega vastuolus.

  • Paul R. Halmos. Naive Mengenlehre (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung, kd 6),. 5. trükk, Vandenhoeck & Ruprecht: Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8.
  • Oliver Deiser. Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo, =3., parandatud trükk, Springer 2010, ISBN 978-3-642-01444-4.
  1. Kaasik, Ü. (2002). Matemaatikaleksikon. Tartu.