Keskväärtus

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Keskväärtus (ehk matemaatiline ootus või ooteväärtus) on mõõdetavate suuruste ja nende realiseerumise tõenäosuste korrutiste summa. Näiteks pika katseseeria, kus ühte katset korratakse samadel tingimustel, tulemuste keskmine sarnaneb (seeria pikkuse suurenedes) üha rohkem tulemuste keskväärtusega. Keskväärtus (mingi arv) ei pruugi ise realiseeruda, näiteks täringuvisete silmade arvu keskväärtus on 3,5.

Matemaatiline definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu juhuslik suurus tõenäosusruumist , siis juhusliku suuruse keskväärtus (või ) on defineeritud Lebesgue'i integraalina:

.

Definitsioonist tuleneb, et mitte kõigil juhuslikel suurustel ei pruugi keskväärtust leiduda (kui vastavat Lebesgue'i integraali ei eksisteeri, nt Cauchy jaotuse korral).

Kui juhuslikul suurusel leidub tihedusfunktsioon , siis saab tema keskväärtust arvutada järgnevalt:

.

Kui juhuslik suurus on diskreetne juhuslik suurus (väärtuste hulk on loenduv) vastavalt väärtustega , , ... ja tõenäosustega , , ... (kusjuures tähistab väärtuse realiseerumise tõenäosust ühel katsel ja nende tõenäosuste summa on 1), siis juhusliku suuruse keskväärtust saab arvutada loenduva summana:

.

Kui suuruse väärtusi on lõplik arv (ehk neid väärtusi on tükki: , , ..., ), siis

.


Omadused[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu ja keskväärtust omavad juhuslikud suurused.

Monotoonsus[muuda | muuda lähteteksti]

Kui kehtib alati (st ), siis ka .

Lineaarsus[muuda | muuda lähteteksti]

iga reaalarvulise ja korral. Muu hulgas

,
.

Korrutatavus[muuda | muuda lähteteksti]

Kui ja on sõltumatud, siis . Üldjuhul ei pruugi see kehtida.

Näited[muuda | muuda lähteteksti]

Täringuvise[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu katseks üks täringuvise ning katse tulemuseks loeme saadud silmade arvu täringul (1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma). Eeldame, et täring on "aus", st kõigi silmade arvu tulemiseks on võrdne võimalus. Siis ühe silma saamise tõenäosus ühel viskel on 1/6 (), kahe silma saamise tõenäosus ühel viskel 1/6 jne. Täringuvisete silmade arvu keskväärtus on siis

,

kus tähistab silmade arvu, mis on juhuslik suurus, ja , nagu eelnevalt kirjeldatud.

Selles näites saadud keskväärtus langeb kokku silmade arvu aritmeetilise keskmisega, sest kõigi silmade saamise tõenäosused on võrdsed. Kui meil oleks olnud tegemist ebaausa täringuga, kus ühe silma saamise tõenäosus on teistest suurem, näitkeks ja , siis oleks keskväärtuseks tulnud 2,5. (See arv näitab, et pika katseseeria jooksul oleks visketulemuste keskmine olnud ligikaudu 2,5.)

Eksponentjaotus[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu juhuslik suurus eksponentjaotusest parameetriga , st tema tihedusfunktsioon on , kus . Kasutades ositi integreerimist, saame tema keskväärtuseks

.