Kasutaja:Kornas9/Poissoni protsess

Poissoni protsess (ingl Poisson process) on jada diskreetsetest sündmustest, kus keskmine aeg sündmuste vahel on teada, aga täpne sündmuste toimumisaeg on teadmata. Poissoni protsess vastab järgnevatele kriteeriumitele:

1. Sündmused on teineteisest mittesõltuvad. Ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumise tõenäosust.
2. Kaks sündmust ei saa toimuda üheaegselt.
3. Sündmuste toimumine ajavahemike kohta on konstantne.

Homogeenne Poissoni protsess

Loendav protsess

Loendav protsess on juhuslik protsess $\{N(t),t\geqslant 0\}$, kui $N(t)$ tähistab ajavahemikus $[0,t]$ toimunud sündmuste koguarvu.

Poissoni protsessi definitsioon

Loendavat protsessi $\{N(t),t\geqslant 0\}$ nimetatakse Poissioni protsessiks, kui

1. ajahetkel 0 toimub 0 sündmust,
2. protsessi juurdekasvud on sõltumatud(st. iga $t_{1}\leq t_{2}\leq t_{3}\leq t_{4}$ korral $N(t_{4})-N(t_{3})$ ja $N(t_{2})-N(t_{1})$ on sõltumatud juhuslikud suurused),
3. sündmuste arv mistahes lõigul pikkusega $t$ on Poissioni jaotusega juhuslik suurus keskväärtusega $\lambda t$

Kuna teame, et Poissoni jaotuse puhul keskväärtus $EX=\lambda$, siis näeme, et 3. seose järgi Poissoni protsessis on $EX=\lambda t$. $\lambda$ nimetatakse Poissoni protsessi intensiivsuseks.

Tõenäosus, mitu sündmust toimub antud ajavahemikus

${\textstyle {\textbf {P}}\{N(t+s)-N(s)=n\}={\frac {(\lambda t)^{n}}{e^{-\lambda t}}},n=0,1,2,...}$, kus

• $n$ on sündmuste toimumiste arv ajavahemikus $[s,t]$

Tõenäosus, millal toimub järgmine sündmus

${\textbf {P}}(T>t)=e^{-\lambda t}\rightarrow {\textbf {P}}(T\leq t)=1-e^{-\lambda t}$

Näide Poissoni protsessidest

• $N(t)$ on näiteks poes tehtud ostude arv ajahetkeks $t$.

Mittehomogeenne Poissoni protsess

Mittehomogeenses Poissoni protsessis sõltub intensiivsus $\lambda$ ajast $t$.

Defineerimiseks kasutame sümbolit $o(t)$, mis tähistab kõrgemat järku lõpmata väikest suurust võrreldes suurusega $t$ vaadeldavas protsessis.

Mittehomogeenne Poissoni protsess

Loendavat protsessi $\{N(t),t\geqslant 0\}$ nimetatakse homogeenseks Poissoni protsessiks, kui

1. ajahetkel 0 toimub 0 sündmust,
2. juurdekasvud on sõltumatud,
3. ${\textbf {P}}\{N(t+h)-N(t)=1\}=\lambda (t)h+o(h),h\rightarrow 0,\forall t$ korral
4. ${\textbf {P}}\{N(t+h)-N(t)\geqslant 2\}=o(h),h\rightarrow 0,\forall t$ korral

Keskväärtusfunktsioon

Mittehomogeenses Poissoni protsessis nimetatakse keskväärtusfunktsiooniks funktsiooni $m(t)$.

Tõenäosus, mitu sündmust toimub antud ajavahemikus

Nüüd on tähtis suurus $m(t)=\int \limits _{0}^{t}\lambda (s)ds$. Näitame, et sündmuste arv lõigul $[t,t+s)$ on Poissioni jaotusega juhuslik suurus keskväärtusega $m(t+s)-m(t)$:

${\textbf {P}}\{N(t+s)-N(t)=n\}={\frac {(m(t+s)-m(t))^{n}}{n!}}e^{-[m(t+s)-m(t)]},n\geqslant 0$

Näide mittehomogeensest Poissoni protsessist

• $N(t)$on külastajate arv poes, kuid teame, et hommiku poole on külastajate intensiivsus suurem kui õhtul.

Poissoni protsessi omadusi

Osaprotsessid

Vaatleme Poissoni protsessi $\{N(t),t\geqslant 0\}$ intensiivsusega $\lambda$. Olgu selles protsessis kahte tüüpi sündmusi, näiteks poes müüakse kahte teenust: I tüüpi tõenäosusega $p$ ja II tüüpi tõenäosusega $(1-p)$.

Olgu I ja II tüüpi sündmuste arv vastavalt $\{N_{1}(t),t\geqslant 0\}$ ja $\{N_{2}(t),t\geqslant 0\}$. Kogu protsessi sündmuste arvu leidmiseks võime: $N(t)=N_{1}(t)+N_{2}(t)$.

Kompositsioon

Poissoni protsessis kehtib, kui on kaks sõltumatut Poissoni jaotusega juhusliku suurust, siis nende summa on samuti Poissoni jaotusega, kusjuures parameetrid liituvad.

Järjelikult kui $\{N_{1}(t),t\geqslant 0\}$ ja $\{N_{2}(t),t\geqslant 0\}$ on intensiivsustega $\lambda _{1}$ ja $\lambda _{2}$, siis $\{N(t),t\geqslant 0\}$ korral $\lambda =\lambda _{1}+\lambda _{2}$.

Poissoni liitprotsess

Poissoni liitprotsess

Juhuslik protsess $\{X(t),t\geqslant 0\}$, mis avaldub kujul

$X(t)=\sum _{k=1}^{N(t)}Y_{k},t>0$,

nimetatakse Poissoni liitprotsessiks, kus

• $N(t)$ on Poissoni protsess,
• $\{Y_{k},k\geqslant 0\}$ on sõltumatud sama jaotusega juhuslikud suurused.

Näide Poissoni liitprotsessist

• Saabugu bussi inimesed Poissoni protsessi kohaselt ja olgu $Y_{k}$ inimesele määratud bussikoha number.

Keskväärtuse leidmine

$EX(t)=\lambda tEY_{1}$

Dispersiooni leidmine

$DX(t)=EX^{2}(t)-[EX(t)]^{2}=EX^{2}(t)-\lambda ^{2}t^{2}(EY_{1})^{2}$