Isomorfism: erinevus redaktsioonide vahel

Eemaldatud sisu Lisatud sisu

Reasisene

Redaktsioon: 21. märts 2013, kell 10:41

See artikkel räägib filosoofia ja matemaatika mõistest; mineraloogia mõiste kohta vaata artiklit Isomorfism (mineraloogia)

Isomorfism (kreeka: ἴσος isos – ühesugune, ja μορφή morphe – vorm) moodustavad koos homomorfismiga üldmõiste (sh ka filosoofilise kategooria), mis iseloomustab vastavust objektide struktuuride vahel ^[1] ^[2].

Mõned spetsiifilise suunitlusega filosoofilised koolkonnad võivad mitte tunnistada nende mõistete kuulumist kategooriate kilda.

Selgitus

Teadaolevalt võttis isomorfismi termini kasutusele 1857. aastal A. Cayley oma keemiliste isomeeride alastes uuringutes ^[3]. Isomorfism tähendab vastavust, kus kaks süsteemi, vaadelduna lahus neid moodustavate elementide loomusest, vastab ühe süsteemi igale elemendile ainult üks teise süsteemi element ning ühe süsteemi igale seosele vastab ainult üks seos teises – ja vastupidi. Seega saab isomorfismist rääkida vaid niisuguste objektide puhul, millel on struktuur, st on määratletud selle elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted).

Isomorfism on määratletav kui struktuuri säilitav üks-ühene vastavus objektide vahel. Isomorfsete objektide hulk moodustab isomorfismiklassi. Kõige piltlikum näide isomorfismist on graafide isomorfism.

Kaks graafi on isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri, vaatamata nende erinavaele „välimusele“.

Graaf G	Graaf H	Isomorfism G ja H vahel
		ƒ(a) = 1 ƒ(b) = 6 ƒ(c) = 8 ƒ(d) = 3 ƒ(g) = 5 ƒ(h) = 2 ƒ(i) = 4 ƒ(j) = 7

Isomorfism matemaatikas

Matemaatikas defineeritakse isomorfismi kui süsteemi niisugust üks-ühest kujutust sama tüüpi süsteemiks, mille korral säilib süsteemide struktuur. Näiteks, kujund ja selle kujundi matemaatiline avaldis ^[4]. Isomorfism on pööratav morfism, millel on pöördmorfism, kus nende korrutis on ühikmorfism. Topoloogilist isomorfismi nimetatakse homoömorfismiks.

Isomorfismiprobleem on aktuaalne algebras, kategooria- ja graafiteoorias. Algebras on isomorfism kujutus objektide vahel, selline mis näitab suhet kahe omaduse või operatsiooni vahel. Kui kahe struktuuri vahel esineb isomorfism, siis öeldakse, et vastavad objektid on isomorfsed. Isomorfsed objektid on struktuurselt ekvivalentsed, kuid võivad mõnest teisest aspektist erinevad olla. Teisisõnu, isomorfism on bijektiivne kujutus f niisugune, et f ja selle pöördfunktsioon f⁻¹ on struktuuri säilitavad kujutused kahe algebralise struktuuri vahel, st need mõlemad on homomorfsed. Isomorfism on algebras samalaadselt defineeritud ka rühma, ringi ja teiste struktuuride kohta.

Isomorfism graafiteoorias tähendab graafide G ja H struktuuri säilitavat tippude bijektsiooni

f\colon V(G)\to V(H)\,\!

niisugust, et kui graafi G mingid kaks tippu u ja v on seotud, siis ja ainult siis on ƒ(u) ja ƒ(v) seotud garaafis H.

Selle näide on selgituses esitatud. Oluline on siin nende substitutsioonide väljatoomine: ${\begin{pmatrix}a&b&c&d&g&h&i&j\\1&6&8&3&5&2&4&7\end{pmatrix}}$

Kahe graafi isomorfsust tähistatakse $G\simeq H$ . Juhul kui bijektsioon on graafi kujutus iseendasse, st kui G ja H on üks ja sama graaf, siis seda bijektsiooni nimetatakse graafi G automorfismiks AutG.

Graafide isomorfism on ekvivalentsussuhe ning isomorfsed graafid kujutavad endast ühesugust struktuuri omavaid graafide isomorfismiklasse.

Isomorfismi tuvastamine kujutab endast vastava algoritmi konstrueerimist mida nimatatakse isomorfismiprobleemiks.

Isomorfismist erinevates valdkondades

Isomorfismi mõistet kasutatakse ka geoloogias, bioloogias, füüsikas jm. Korrektne on seda kasutada vaid seal, kus nende spetsiifiliste objektide struktuur ja bijektsioon on määratletav. See tähendab, kui nende geoloogiliste (bioloogilidte, füüsikaliste jt) süsteemide elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted) on määratletud. Tegelikkuses sellest alati kinni ei peeta.

Viited

↑ Schmitd, Heirich, 1991. Philosophisches Wörerbuch. Stuttgard. ISBN 5250017940
↑ Новая философская энциклопедия. 2001, Москва. ISBN 5244009613 (00962-1)
↑ A. Cayley, 1857. On the theory of the analytical forms called trees. Phil. Mag. (4) 13 (1857), 172-176
↑ Kaasik, Ülo. 2003. Matemaatikaleksikon. Tartu. ISBN 9985941772

Vaata ka

McGraw-Hill dictionary of Mathematics, 1997. N. Y., ISBN 007524335.

[1] Schmitd, Heirich, 1991. Philosophisches Wörerbuch. Stuttgard. ISBN 5250017940

[2] Новая философская энциклопедия. 2001, Москва. ISBN 5244009613 (00962-1)

[3] A. Cayley, 1857. On the theory of the analytical forms called trees. Phil. Mag. (4) 13 (1857), 172-176

[4] Kaasik, Ülo. 2003. Matemaatikaleksikon. Tartu. ISBN 9985941772

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ 1. rida: / 1. rida: @@
 {{See artikkel| räägib filosoofia ja matemaatika mõistest; mineraloogia mõiste kohta vaata artiklit [[Isomorfism (mineraloogia)]]}}
+'''Isomorfism''' ([[kreeka keel|kreeka]]: [[wikt:ἴσος|ἴσος]] ''isos'' – ühesugune, ja [[wikt:μορφή|μορφή]] ''morphe'' – vorm) moodustavad koos [[homomorfism]]iga üldmõiste (sh ka [[filosoofiline kategooria|filosoofilise kategooria]]), mis iseloomustab vastavust objektide struktuuride vahel <ref> Schmitd, Heirich, 1991. ''Philosophisches Wörerbuch''. Stuttgard. ISBN 5250017940 </ref> <ref> ''Новая философская энциклопедия''. 2001, Москва. ISBN 5244009613 (00962-1) </ref>.
-{{ToimetaAeg|kuu=jaanuar|aasta=2011}}{{keeletoimeta}}
-'''Isomorfism''' ([[kreeka keel|kreeka]]: [[wikt:ἴσος|ἴσος]] ''isos'' – ühesugune, ja [[wikt:μορφή|μορφή]] ''morphe'' – vorm) moodustavad koos [[homomorfism]]iga üldmõiste (sh ka [[filosoofiline kategooria|filosoofilise kategooria]], mis iseloomustab vastavust objektide struktuuride vahel <ref> Schmitd, Heirich, 1991. Philosophisches Wörerbuch. Stuttgard.</ref> <ref> Новая философская энциклопедия. 2001, Москва. ISBN 5-244-00961-3 (00962-1) </ref>.
 Mõned spetsiifilise suunitlusega filosoofilised koolkonnad võivad mitte tunnistada nende mõistete kuulumist kategooriate kilda.
 ==Selgitus==
-Isomorfism tähendab vastavust, kus kaks süsteemi, vaadelduna lahus neid moodustavate elementide loomusest, vastab esimese süsteemi igale elemendile ainult üks teise süsteemi element ning ühe süsteemi igale seosele vastab ainult üks seos teises – ja vastupidi. Seega saab isomorfismist rääkida vaid niisuguste objektide puhul, millel on struktuur, st on määratletud selle elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted).
+Teadaolevalt võttis isomorfismi termini kasutusele 1857. aastal A. Cayley oma keemiliste isomeeride alastes uuringutes <ref> A. Cayley, 1857. ''On the theory of the analytical forms called trees''. Phil. Mag. (4) 13 (1857), 172-176 </ref>.  Isomorfism tähendab vastavust, kus kaks süsteemi, vaadelduna lahus neid moodustavate elementide loomusest, vastab ühe süsteemi igale elemendile ainult üks teise süsteemi element ning ühe süsteemi igale seosele vastab ainult üks seos teises – ja vastupidi. Seega saab isomorfismist rääkida vaid niisuguste objektide puhul, millel on struktuur, st on määratletud selle elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted).
 Isomorfism on määratletav kui '''''struktuuri säilitav üks-ühene vastavus objektide vahel'''''.
-Isomorfsete objektide hulk moodustab '''''isomorfismiklassi'''''.
+Isomorfsete objektide hulk moodustab '''''isomorfismiklassi'''''. Kõige piltlikum näide isomorfismist on graafide isomorfism.
-Teadaolevalt võttis isomorfismi termini kasutusele 1857. aastal A. Cayley oma keemiliste isomeeride alastes uuringutes <ref> A. Cayley, 1857. On the theory of the analytical forms called trees. ''Phil. Mag. (4) 13 (1857), 172-176''</ref>. Kõige piltlikum näide isomorfismist on graafide isomorfism.
 Kaks graafi on isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri, vaatamata nende erinavaele „välimusele“.
@@ 40. rida: / 37. rida: @@
 ==Isomorfism matemaatikas==
-Matemaatikas defineeritakse isomorfismi kui süsteemi niisugust üks-ühest kujutust sama tüüpi süsteemiks, mille korral säilib süsteemide [[struktuur]]. Näiteks, kujund ja selle kujundi matemaatiline avaldis.
+Matemaatikas defineeritakse isomorfismi kui süsteemi niisugust üks-ühest kujutust sama tüüpi süsteemiks, mille korral säilib süsteemide [[struktuur]]. Näiteks, kujund ja selle kujundi matemaatiline avaldis <ref> Kaasik, Ülo. 2003. ''Matemaatikaleksikon''. Tartu. ISBN 9985941772 </ref>. Isomorfism on pööratav [[morfism]], millel on ''pöördmorfism'', kus nende korrutis on ''ühikmorfism''. [[topoloogia|Topoloogilist]] isomorfismi nimetatakse ''homoömorfismiks''.
-Isomorfism on pööratav [[morfism]], millel on ''pöördmorfism'', kus nende korrutis on ''ühikmorfism''. [[topoloogia|Topoloogilist]] isomorfismi nimetatakse ''homoömorfismiks''.
-Isomorfismiprobleem on aktuaalne algebras, kategooria- ja graafiteoorias.
-[[Algebra]]s on isomorfism kujutus objektide vahel mis näitab suhet kahe omaduse või operatsiooni vahel.&nbsp; Kui kahe struktuuri vahel esineb isomorfism, siis öeldakse, et vastavad objektid on ''isomorfsed''.&nbsp; Teatud mõttes on isomorfsed objektid ''struktuurselt samased'', kui muud liiki erinevused on ignoreeritud.&nbsp; Veelgi formaalsemalt on isomorfism ''bijektiivne kujutus'' ''f'' niisugune, et ''f'' ja selle pöördfunktsioon ''f''<sup>&nbsp;&minus;1</sup> on struktuuri säilitavad kujutused kahe algebralise struktuuri vahel, st need mõlemad on [[homomorfism|homomorfsed]]. Isomorfism on algebras samalaadselt defineeritud ka [[rühm]]a, [[ring]]i ja teiste struktuuride kohta.
+Isomorfismiprobleem on aktuaalne algebras, kategooria- ja [[graafiteooria]]s. [[Algebra]]s on isomorfism kujutus objektide vahel, selline mis näitab suhet kahe omaduse või operatsiooni vahel.&nbsp; Kui kahe struktuuri vahel esineb isomorfism, siis öeldakse, et vastavad objektid on ''isomorfsed''.&nbsp; Isomorfsed objektid on ''struktuurselt ekvivalentsed'', kuid võivad mõnest teisest aspektist erinevad olla. Teisisõnu, isomorfism on ''bijektiivne kujutus'' ''f'' niisugune, et ''f'' ja selle pöördfunktsioon ''f''<sup>&nbsp;&minus;1</sup> on struktuuri säilitavad kujutused kahe algebralise struktuuri vahel, st need mõlemad on [[homomorfism|homomorfsed]]. Isomorfism on algebras samalaadselt defineeritud ka [[rühm]]a, [[ring]]i ja teiste struktuuride kohta.
 Isomorfism [[graafiteooria]]s tähendab graafide ''G'' ja ''H'' struktuuri säilitavat tippude bijektsiooni
@@ 57. rida: / 50. rida: @@
 Kahe graafi isomorfsust tähistatakse <math>G\simeq H</math>. Juhul kui bijektsioon on graafi kujutus iseendasse, st kui ''G'' ja ''H'' on üks ja sama graaf, siis seda bijektsiooni nimetatakse graafi ''G'' [[automorfism]]iks '''''AutG'''''.
-Graafide isomorfism on [[ekvivalentsus|ekvivalentsussuhe]] ning graafe võib [[klassifitseerimine|klassifitseerida]] [[ekvivalentsus|ekvivalentsusklassideks]]. Isomorfsete graafide hulka nimetatakse '''''graafide isomorfismiklassiks'''''.
+Graafide isomorfism on [[ekvivalentsus|ekvivalentsussuhe]] ning isomorfsed graafid kujutavad endast ühesugust struktuuri omavaid '''''graafide isomorfismiklasse'''''.
-'''''Isomorfismi tuvastamine''''' kujutab endast kujutab endast vastava [[algoritm]]i konstrueerimist mida nimatatakse [[isomorfismiprobleem]]iks.
+'''''Isomorfismi tuvastamine''''' kujutab endast vastava [[algoritm]]i konstrueerimist mida nimatatakse [[isomorfismiprobleem]]iks.
 ==Isomorfismist erinevates valdkondades==
@@ 68. rida: / 61. rida: @@
 ==Vaata ka==
-*Filosoofia leksikon. 1985. Tallinn.
-*Семёнов, A. Л., 1979. Изоморфизм. ''Математическая энциклопедия, Том 2'', Москва.
 *McGraw-Hill dictionary of Mathematics, 1997. N. Y., ISBN 007524335.