Bayesi teoreem

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Tõenäosusteoorias ja statistikas kirjeldab Bayesi teoreem sündmuse toimumise tõenäosust, eeldusel, et sündmus on kuidagi seotud eelnevalt toimunud sündmustega - Bayesi teoreem arvutab tingimuslikku tõenäosuse.[1]

Sinine kiri näitab Bayes'i teoreemi definitsiooni

Bayesi teoreem nimetati matemaatiku Reverend Thomas Bayes (1701 – 1761) järgi, kes esimesena esitas võrrandi, mis lubas uutel andmetel uuendada uskumusi, essees „An Essay toward solving a Problem in the Doctrine of Chances" (1763).[2]

Definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Bayesi teoreem on kirja pandud järgnevalt:[3]

kus
korrutusvalem: on murru lugejaks,
ja on sündmused ja .
  • on tingimuslik tõenäosus: sündmuse toimumise tõenäosus tingimusel, et on tõene.
  • on tingimuslik tõenäosus: sündmuse toimumise tõenäosus tingimusel, et on tõene.
  • ja on sündmuse ja sündmuse tõenäosus eraldi vaadelduna.
Bayesi valemit nõudvates ülesannetes on tavaks, et kõigepealt püstitatakse hüpoteesid ning siis sooritatakse katsed, mille tulemus on teada, ning sõltuvalt katsete tulemustest hinnatakse hüpoteeside esialgsed ennustatud tõenäosused uuesti.[4]

Valemi vormid[muuda | muuda lähteteksti]

Bayesi valemi vorm 1:[5]
on sündmuse tõenäosus tingimusel, et on toimunud ning kus nimetatakse hüpoteesiks.
Bayesi valemi vorm 2:[6]
kus
on sündmuse tõenäosus,
on sündmuse vastandtõenäosus,
on tingimuslik tõenäosus: sündmuse toimumise tõenäosus tingimusel, et on tõene,
on tingimuslik tõenäosus: sündmuse toimumise tõenäosus tingimusel, et on tõene,
on tingimuslik tõenäosus: sündmuse toimumise tõenäosus tingimusel, et on tõene.

Kasutus[muuda | muuda lähteteksti]

Tänapäeval kasutatakse Bayesi teoreemi nii meditsiinis kui masinõppe tehnikates näiteks rämpskirjade välja selgitamiseks.[7] Kui filtrile on seadistatud mõned rämpskirjade tingimused, siis kasutab see filter rämpsu väljasorteerimiseks kindlate sõnade esinemist e-kirjades.

Bayesi järeldamine on esitatud teadusliku meetodi mudelina, milles toimub algsete uskumuste ajakohastamine hüpoteeside suhtelise usutavuse testimise teel.

Bayes teoreemi interpretatsioonid[muuda | muuda lähteteksti]

On olemas erinevaid interpretsioone Bayesi teoreemist, näiteks Bayesi interpretsioon[8], milles tõenäosus mõõdab usu taset, kuid kuna uskumused on alati subjektiivsed, siis on ka Bayesian tõenäoususteooria tingimuslik. Teiseks on olemas sageduslik (ing k Frequentist interpretation) interpretatsioon[9], milles tõenäosus mõõdab paljude katsete tulemust, mis on sooritatud samadel tingimustel.

Ajalugu[muuda | muuda lähteteksti]

Thomas Bayes oli Inglise kirikuõpetaja, kes tundis huvi matemaatika vastu ja õppis Edinburgis loogikat ja teoloogiat. Thomas Bayesi tööd said tuntuks tänu Richard Price’le, kes Bayesi märkmed läbi uuris ning täiendas ja avaldas kaks aastat peale tema surma.[10] Ta täiendas Bayesi peamist tööd, mis kandis nime „An Essay toward solving a Problem in the Doctrine of Chances“ („Katse lahendada üht juhuseõpetuse probleemi“ ja mis sisaldab ka Bayesi teoreemi.[11] Tänu Richard Price’ile said tuntuks näiteks:

  • Bayesi tõenäosusteooria
  • Binoomjaotuse parameetrite hindamine
  • Beta jaotuse integraali leidmine

Bayesiaanlus on filosoofias seisukoht, mille kohaselt matemaatiline tõenäosusteooria käib väidete usutavuse kohta ehk määra kohta, millega ratsionaalsed toimijad usuvad väidete tõesusse. Kuid ei ole teada, kas Bayes ka ise seda pooldas.[12]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Stephanie Glen. Bayes’ Theorem Problems, Definition and Examples: http://www.statisticshowto.com/bayes-theorem-problems/ (19.03.2018)
  2. Jeffreys, Harold (1973). Scientific Inference (3rd ed.). Cambridge University Press. p. 31. ISBN 978-0-521-18078-8. (18.03.2018)
  3. Stuart, A.; Ord, K. (1994), Kendall's Advanced Theory of Statistics: Volume I—Distribution Theory, Edward Arnold, §8.7. (18.03.2018)
  4. Tõenäosusteooria loeng, Tartu Ülikool. http://www.staff.ttu.ee/~pallasl/toenaosus/t%F5en%E4osus%20loeng%2013.doc (19.03.2018)
  5. Ergo Jakobson. E-kursuse „Tõenäosusteooria ja statistika“ materjalid. http://dspace.ut.ee/bitstream/handle/10062/35400/Toenaosusteooria_ja_statistika.pdf (19.03.2018)
  6. Ergo Jakobson. E-kursuse „Tõenäosusteooria ja statistika“ materjalid. http://dspace.ut.ee/bitstream/handle/10062/35400/Toenaosusteooria_ja_statistika.pdf (19.03.2018)
  7. Andrew Ellinor, Christopher Williams, Adam Strandberg. Bayes’ Theorem and Conditional Probabilit: https://brilliant.org/wiki/bayes-theorem/ (18.03.2018)
  8. Bayesian vs. Frequentist Interpretation. http://work.thaslwanter.at/Stats/html/statsBayes.html (18.03.2018)
  9. P. J. Bickel and E. L. Lehmann. Frequentist Interpretation of Probability. https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-1-4614-1412-4_92.pdf (19.03.2018)
  10. Imbi Traat, Natalja Lepik. Bayesi statistika Markovi ahelatega. http://dspace.ut.ee/bitstream/handle/10062/35403/Bayesi_statistika.pdf, lk 8 (19.03.2018)
  11. Richard Price (1991). Price: Political Writings. Cambridge University Press. p. xxiii. ISBN 978-0-521-40969-8. Retrieved 16 June 2013. (18.03.2018)
  12. Bayesiaanus. https://et.wikipedia.org/wiki/Bayesiaanlus (29.04.2018)