Bayesi teoreem

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Tõenäosusteoorias ja statistikas kirjeldab Bayesi teoreem sündmuse toimumise tõenäosust, eeldades, et sündmus on kuidagi seotud eelnevalt toimunud sündmustega - Bayesi teoreem arvutab tingimuslikku tõenäosuse.[1]

Sinine kiri näitab Bayes'i teoreemi definitsiooni

Bayesi teoreem nimetati matemaatiku Reverend Thomas Bayes (1701 – 1761) järgi, kes esimesena esitas võrrandi, mis lubas tõestusena uuendada uskumusi tema essees „An Essay toward solving a Problem in the Doctrine of Chances (1763)“.[2]

Definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Bayesi teoreem on kirja pandud järgnevalt:[3]

kus
korrutusvalem: on murru lugejaks,
ja on sündmused ja .
  • on tingimuslik tõenäosus: sündmuse toimumise tõenäosus tingimusel, et on tõene.
  • on tingimuslik tõenäosus: sündmuse toimumise tõenäosus tingimusel, et on tõene.
  • ja on sündmuse ja sündmuse tõenäosus eraldi vaadelduna.
Bayesi valemit nõudvates ülesannetes on tavaks, et kõigepealt püstitatakse hüpoteesid ning siis sooritatakse katsed, mille tulemus on teada ning sõltuvalt tehtud katsete tulemustest hinnatakse hüpoteeside esialgsed ennustatud tõenäosused uuesti.[4]

Valemi vormid[muuda | muuda lähteteksti]

Bayesi valemi vorm 1:[5]
on sündmuse tõenäosus tingimusel, et on toimunud ning kus nimetatakse hüpoteesiks.
Bayesi valemi vorm 2:[6]
kus
on sündmuse tõenäosus,
on sündmuse vastandtõenäosus,
on tingimuslik tõenäosus: sündmuse toimumise tõenäosus tingimusel, et on tõene,
on tingimuslik tõenäosus: sündmuse toimumise tõenäosus tingimusel, et on tõene,
on tingimuslik tõenäosus: sündmuse toimumise tõenäosus tingimusel, et on tõene.

Kasutus[muuda | muuda lähteteksti]

Tänapäeval kasutatakse Bayesi teoreemi nii meditsiinis kui masinõppe tehnikates näiteks rämpskirjade välja selgitamiseks.[7] Kui filtrile on seadistatud mõned rämpskirjade tingimused, siis kasutab see filter rämpsu väljasorteerimiseks kindlate sõnade esinemist e-kirjades.

Bayesi järeldamine on esitatud teadusliku meetodi mudelina: toimub algsete uskumuste ajakohastamine hüpteeside suhteliste usutavuse kohta, et saada rafiineeritud komplekt.

Bayes teoreemi interpretatsioonid[muuda | muuda lähteteksti]

On olemas erinevaid interpretsioone Bayesi teoreemist, näiteks Bayesian interpretsioon[8], mille tõenäosus mõõdab usu taset, kuid kuna uskumused on alati subjektiivsed, siis ka Bayesian tõenäoususteooria on tingimuslik. Teiseks on olemas Sageduse (ing k Frequentist interpretation) interpretatsioon[9], mille tulemus saadakse paljude katsete tulemusel, mis on sooritatud samadel tingimustel.

Ajalugu[muuda | muuda lähteteksti]

Thomas Bayes on Inglismaalt pärit kirikuõpetaja, kes tundis huvi matemaatika vastu ja õppis Edinburgis loogikat ja teoloogiat. Ta oli alguses eraõppel. Thomas Bayesi tööd said tuntuks tänu Richard Price’le, kes Bayesi märkmed läbi uuris ning täiendas ja avaldas kaks aastat peale tema surma.[10] Ta täiendas Bayesi peamist tööd, mis kandis nime „An Essay toward solving a Problem in the Doctrine of Chances“ (eesti k „Essee liikudes probleemi lahenduseni juhuse õpetuses“ ja mis sisaldab ka Bayesi teoreemi.[11] Tänu Richard Price’ile said tuntuks näiteks:

  • Bayesi tõenäosusteooria
  • Binoomajaotuse parameetrite hindamine
  • Beta jaotuse integraali leidmine

Bayesiaanlus on filosoofias seisukoht, mille kohaselt matemaatiline tõenäosusteooria on rakendatav väidete usutavuse astme suhtes või astme suhtes, millel ratsionaalsed toimijad usuvad väidete tõesusse. Kuid ei ole teada, kas Bayes ka ise seda pooldas.[12]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Stephanie Glen. Bayes’ Theorem Problems, Definition and Examples: http://www.statisticshowto.com/bayes-theorem-problems/ (19.03.2018)
  2. Jeffreys, Harold (1973). Scientific Inference (3rd ed.). Cambridge University Press. p. 31. ISBN 978-0-521-18078-8. (18.03.2018)
  3. Stuart, A.; Ord, K. (1994), Kendall's Advanced Theory of Statistics: Volume I—Distribution Theory, Edward Arnold, §8.7. (18.03.2018)
  4. Tõenäosusteooria loeng, Tartu Ülikool. http://www.staff.ttu.ee/~pallasl/toenaosus/t%F5en%E4osus%20loeng%2013.doc (19.03.2018)
  5. Ergo Jakobson. E-kursuse „Tõenäosusteooria ja statistika“ materjalid. http://dspace.ut.ee/bitstream/handle/10062/35400/Toenaosusteooria_ja_statistika.pdf (19.03.2018)
  6. Ergo Jakobson. E-kursuse „Tõenäosusteooria ja statistika“ materjalid. http://dspace.ut.ee/bitstream/handle/10062/35400/Toenaosusteooria_ja_statistika.pdf (19.03.2018)
  7. Andrew Ellinor, Christopher Williams, Adam Strandberg. Bayes’ Theorem and Conditional Probabilit: https://brilliant.org/wiki/bayes-theorem/ (18.03.2018)
  8. Bayesian vs. Frequentist Interpretation. http://work.thaslwanter.at/Stats/html/statsBayes.html (18.03.2018)
  9. P. J. Bickel and E. L. Lehmann. Frequentist Interpretation of Probability. https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-1-4614-1412-4_92.pdf (19.03.2018)
  10. Imbi Traat, Natalja Lepik. Bayesi statistika Markovi ahelatega. http://dspace.ut.ee/bitstream/handle/10062/35403/Bayesi_statistika.pdf, lk 8 (19.03.2018)
  11. Richard Price (1991). Price: Political Writings. Cambridge University Press. p. xxiii. ISBN 978-0-521-40969-8. Retrieved 16 June 2013. (18.03.2018)
  12. Bayesiaanus. https://et.wikipedia.org/wiki/Bayesiaanlus (29.04.2018)