Arutelu:Topoloogia

Sõnal "topoloogia" on matemaatikas kolm tähendust:

matemaatika haru
topoloogilise ruumi lahtiste hulkade kogum (vaata artiklit Topoloogiline ruum)
topoloogilised omadused

Andres 9. mai 2009, kell 12:16 (UTC)

Kui mõista kujundit nii, nagu artiklis Kujund, on see definitsioon kindlasti liiga kitsas. Andres 9. mai 2009, kell 13:03 (UTC)

Kaasik annab paralleelselt definitsiooni "Topoloogiliste ruumide teooria", mis on tema järgi samaväärne. Ka antud artiklis on esimesed kaks lauset seotud, kuid kui arvad, et selline sõnastus on eksitav, võid need laused ümber pöörata ja nö "formaalsema" määratluse "intuitiivsemast" ette viid. --Hardi 9. mai 2009, kell 16:15 (UTC)

No ma ei tea, minu meelest on "topoloogiliste ruumide teooria" laiem üldisem kui see, mis praegu on öeldud, sest topoloogia (üldtopoloogia) räägib ju ka näiteks topoloogiliste ruumide omadustest ja klassifikatsioonist, millel pole otsest seost kujunditega.

Esimene lause kirjeldab küll teatud motiivi, millest topoloogia on välja kasvanud, kuid ei kirjelda topoloogiat kui niisugust. Samas, topoloogiliste ruumide teooria ei ole topoloogia üldse, vaid üldtopoloogia. Nii et minu meelest oleks algusesse tarvis mõlemast täpsemat sõnastust. Andres 9. mai 2009, kell 16:38 (UTC)

Andres 9. mai 2009, kell 16:38 (UTC)

Võib kaaluda ka võimalust, et kujundi mõiste on liiga kitsalt defineeritud. Lähtu kirjandusest. Ma ei hakka oma allikate sisu üle vaidlema. Sinu seisukohta võin eelisatada siis, kui näitad selle kusagil trükis ilmunud olevat. Seni eelistan Kaasikut.

Teiseks on antud artikkel väga lühike. Nö "korralik" käsitlus eeldaks artikli kasvamist pikkuses. --Hardi 9. mai 2009, kell 16:56 (UTC)

Muidugi on võimalik, et kujundi mõiste on liiga kitsalt defineeritud, või õigemini, et Kaasik kasutab sõna "kujund" eri artiklites eri tähendustes. Aga sel juhul peab selle allikaga ettevaatlik olema.

Vaatasin venekeelset matemaatikaentsüklopeediat, ning leidsin sealt artiklist "Topoloogia" kõik need motiivid, mis meil siin käigus on, aga nad on teistmoodi kokku pandud. Lühikest ja täpset sõnastust kahjuks pole. (Muide, mida lühem esitus, seda täpsem ta peabki olema). Ja kujundist räägitakse seal tõesti teises tähenduses kui meie ja Kaasiku artiklis "Kujund" ja kui mina seda mõtlesin. Mis puutub modelleerimisse, siis leian endiselt, et seda sõna oleks parem vältida, et asja mitte segaseks ajada. Kui Kaasik räägib modelleerimisest ja Sa tingimata tahad temale toetuda, siis tsiteeri otse, pane jutumärkidesse.

Niisiis, ma tsiteerin. Artikli autor on A. V. Arhangelski.

"Topoloogia on matemaatika haru, mille otstarve on selgitada ja uurida matemaatika raames pidevuse ideed. Intuitiivselt väljendab pidevuse idee ruumi ja aja fundamentaalseid omadusi ning järelikult on tal tunnetuse seisukohast fundamentaalne tähtsus. Vastavalt põimub topoloogia, milles pidevuse idee saab matemaatilise kehastuse, loomulikul moel peaaegu kõigisse matemaatika harudesse. Ühenduses algebraga moodustab topoloogia matemaatika üldise aluse ja aitab kaasa selle ühtsusele.

Topoloogia aine on kujundite ja nende vastastikuse asendi niisuguste omaduste uurimine, mida säilitavad homöomorfismid, s.o üksühesed ja mõlemas suunas pidevad kujutused. Järelikult võib topoloogiat kvalifitseerida geomeetria variandina. Selle geomeetria tähtis joon on tema seaduste mõjusfääri langevate geomeetriliste objektide klassi ebatavaline laius.

Selle laiuse kutsub esile asjaolu, et topoloogia keskne mõiste, homöomorfismi mõiste, ei nõua enda defineerimiseks mitte mingeid seda laadi klassikalisi geomeetrilisi mõisteid, nagu näiteks kaugus, sirgjoonelisus, lineaarsus, siledus jne. Homöomorfismi mõiste ning selle aluseks olev pideva kujutuse mõiste eeldavad ainult, et vaadeldava kujundi punktid ja punktihulgad on mingis intuitiivselt selges lähedusseoses, mis üldiselt erineb lihtsast kuuluvusseosest.

"Kujundi" all mõeldakse topoloogias mis tahes punktihulka, milles on antud punktide ja mingite alamhulkade vaheline lähedusseos, mis rahuldab teatud aksioome. Neid kujundeid nimetatakse topoloogilisteks ruumideks. Praktiliselt iga kujundit mingi teise geomeetria (afiinse, projektiivse, diferentsiaal- jne) geomeetria mõttes võib loomulikul moel vaadelda ka topoloogilise ruumina. Selles mõttes on topoloogia kõige üldisem geomeetria; ent paljusid kujundite omadusi, mida uuritakse teistes geomeetriates, topoloogia ignoreerib teadlikult.

Topoloogia peamine ülesanne on tuua välja ja uurida ruumide topoloogilisi omadusi ehk topoloogilisi invariante. Tähtsaimate topoloogiliste invariantide hulka kuuluvad näiteks sidusus, kompaktsus, mõõde, kaal, fundamentaalrühm, homoloogiarühmad jne.

Peale selle pööratakse suurt tähelepanu seda laadi omadustele nagu ühe kujundi asend teises kujundis, ühe topoloogilise ruumi asend teises, mis säilivad hõlmava ruumi homöomorfismide puhul iseendale. Seda laadi problemaatika algas Jordani teoreemist. Nende ideede arendusena saadi Alexanderi duaalsusseadused ja nende üldistus, sõlmeteooria". Jutt läheb veel väga pikalt edasi, aga sissejuhatus on niisugune. Andres 9. mai 2009, kell 18:08 (UTC)

See on hea tekst ja sellest võiks ka artikli täienamisel lähtuda. Samamoodi võiks täiendada ka kujundi artiklit. Hetkel ma seda ise teha ei jõua. --Hardi 9. mai 2009, kell 18:20 (UTC)

Siin ei piisa ainult täiendamisest. Andres 9. mai 2009, kell 18:56 (UTC)

mille abil kujundeid modelleerida on võimalik

Mis see tähendab? Andres 9. mai 2009, kell 16:07 (UTC)

On kujund ja sellel on mudel - topoloogiline ruum. Saad sa sellest kuidagi erinevalt aru? --Hardi 9. mai 2009, kell 16:15 (UTC)

Noh, kujundeid saab muidugi esitada topoloogiliste ruumidena, aga minu meelest on see jutt ülearune, ja kui seda tingimata tahta öelda, siis tulebki nii öelda, jutt modelleerimisest ei anna midagi juurde. Aga kujundeid vaadeldakse ju tavaliselt ikkagi topoloogiliste ruumide omadustena, selles seoses ju esimeses lauses kujunditest ja ruumidest räägitaksegi.

Teen ettepaneku need sõnad välja jätta. Andres 9. mai 2009, kell 16:38 (UTC)

Modelleerimise jutt on vajalik seose tekitamiseks. (Nagu näha ei saanud sa seosest aru, mistõttu on see lause ka vajalik.) Kujundite osas on järgitud kirjandust. Kui leiad teistsuguse käsituse, siis lähtu sellest ja too viited. --Hardi 9. mai 2009, kell 16:52 (UTC)

Viitasin nüüd allikale. Probleemiks on see, et jutust ei selgu, mida mõeldakse kujundite all. Kujundite all ei mõelda seda, millest räägib artikkel Kujund, st punktihulki tavalisel tasandil või tavalises ruumis.

Võib tõesti öelda, et kujundeid modelleeritakse topoloogiliste ruumide abil, aga hulga arusaadavam oleks öelda, et kujundeid vaadeldakse topoloogiliste ruumidena. Veel parem oleks sõna "kujund" üldse vältida. Andres 9. mai 2009, kell 18:13 (UTC)

Mul on sõnasõnaline tõlge. Siin tuleks ümber sõnastada. Andres 10. mai 2009, kell 18:34 (UTC) Näiteks "lähedusseos" ei ole siin termin. Andres 10. mai 2009, kell 18:35 (UTC)

Praegu ei ole esitus kokkuvõttes päris sidus. Andres 10. mai 2009, kell 18:36 (UTC)

Tuleb veidi mõelda. Esimene lause võiks pikema filosoofiata öelda, et topoloogia on topoloogiliste ruumide teooria. --Hardi 10. mai 2009, kell 18:47 (UTC)

Nojah, aga topoloogiliste ruumide teooria on pigem üldtopoloogia ehk üldine topoloogia. Algebralise topoloogia kohta minu meelest seda öelda ei saa. Ja kombinatoorses topoloogias pole (või polnud) vist üldse topoloogilise ruumi mõiste kasutusel.

Olen kuulnud ka mingist alternatiivsest topoloogiast, kus topoloogilise ruumi asemel on põhimõisteks lähedusseos. Andres 10. mai 2009, kell 19:18 (UTC)

Sõna topoloogia tuleb kreeka keelsetest sõnadest topos (koht) ja logos (sõna, mõiste, õpetus).

Võtsin selle välja, sest see on nii ebatäpne, et see on eksitav. Etümoloogiast saaks täpsemalt rääkida vikisõnastikus. Andres (arutelu) 17. november 2015, kell 09:17 (EET)[vasta]