Arutelu:Galilei teisendus/materjal

Galilei teisendus on aegruumi koordinaatide mis tahes teisendust, mis säilitab samaaegsete sündmuste vahelise kauguse ja eriaegsete sündmuste vahelise aja.

Galilei relatiivsusprintsiip

 Pikemalt artiklis Galilei relatiivsusprintsiip

Galilei relatiivsusprintsiip väidab, et eksisteerivad inertsiaalsüsteemid, st niisugused koordinaatide süsteemid, et

1. kõik loodusseadused on igal hetkel kõigis inertsiaalsüsteemides ühesugused ja
2. kõik koordinaatsüsteemid, mis on saadavad inertsiaalsüsteemist mingi Galilei teisendusega, on inertsiaalsüsteemid.

Galilei avaldas relatiivsusprintsiibi 1632.a avaldatud raamatus "Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo Tolemaico, e Copernicano" näitega laevast: Mitte mingisuguste looduse vaatlustega (kalad, liblikad, taimed) kui ka mehhaaniliste katsetega allpool dekki asuvas kajutis ei ole võimalik tuvastada, kas laev seisab kai ääres või liigub ühtlase kiirusega siledal järve pinnal. Seega on looduse seadused ühesugused kõigis üksteise suhtes ühtlase kiirusega liikuvates koordinaatsüsteemides. Järelikult ei ole ka mitte mingisuguste katsete ja looduse vaatlemise tulemusel võimalik tuvastada Maa tiirlemist ümber Päikese. See järeldus on vastulauseks Koperniku õpetuse kritiseerijatele. Muuhulgas ei ole tuvastanud Maa liikumist ümber Päikese ka Michelson-Morley katse ega ka Kuu ja Maa vahelise kauguse mõõtmine laseriga.

Tähistused. Tähistame R kõigi reaalarvude hulka. Tähistame Rⁿ n eksemplari R otsekorrutist. Seega iga Rⁿ element on komplekt n reaalarvust (x₁,x₂, ... , x_n).Nimetame n-mõõtmeliseks affiinseks ruumiks ja tähistame Aⁿ ruumi mille kahe suvalise elemendi summa ei ole määratud, aga iga kahe elemendi vahe kuulub ruumi Rⁿ. Seega Rⁿ toimib ruumis Aⁿ kui ruumi paraleellükete rühm. Igale elemendile ruumist Rⁿ vastab lõpmatu arv selle nihkega ühildatavaid elemente ruumist Aⁿ. Eukleidiline struktuur ruumis Rⁿ on positiivselt määratud bilineaarne sümmeetriline ruutvorm, mida nimetatakse skalaarkorrutiseks. Skalaarkorrutise abil on võimalik määrata ruumi Aⁿ punktide vaheline kaugus. Affiinset ruumi, milles on selliselt defineeritud kahe punkti vaheline kaugus, nimetatakse eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse Eⁿ.

Galilei aeg-ruumiline struktuur (lühidalt Galilei struktuur) sisaldab endas järgmisi komponente:

1. Maailm on neljamõõtmeline affiinne ruum A⁴.Ruumi A⁴ punkte nimetatakse sündmusteks. Ruumi A⁴ paraleellükked moodustavad reaalse ruumi R⁴.
2. Aeg t:R⁴→R on ruumi A⁴ paraleellükete ruumi R⁴ lineaarne kujutis reaalsele "ajateljele". Ajavahemikuks sündmusest a ruumis A⁴ kuni sündmuseni b ruumis A⁴ nimetatakse reaalarvu t(b-a). Kui t(b-a)=0, siis nimetatakse sündmuseid a ja b samaaegseteks. Kõigi samaaegsete sündmuste hulk moodustab ruumi A⁴ kolmemõõtmelise affiinse alamruumi, mida tähistame A³ ja nimetame samaaegsete sündmuste ruumiks.
3. Kahe samaaegse sündmuse vaheline kaugus määratakse skalaarkorrutise abil:

$\rho (a,b)=||a-b||={\sqrt {(a-b,a-b)}}$.

Selliselt defineeritud sündmuste vaheline kaugus muudab samaaegsete sündmuste ruumi A³ eukleidiliseks ruumiks E³.

Väljend "eriaegsed sündmused samas kohas" ei oma mõtet, seni kui ei ole määratud koordinaatsüsteem. Samuti ei ole ka määratud "eriaegsete sündmuste vaheline kaugus" seni kui ei ole määratud koordinaatsüsteem.

Nimetame Galilei teisenduseks ruumi A⁴ iga teisendust, mis säilitab tema Galilei struktuuri. Seega on ruumi A⁴ Galilei teisendus selline affiinne teisendus, mis säilitab sündmuste vahelised ajaintervallid ja samaaegsete sündmuste vahelised kaugused. Samaaegsete sündmuste ruumis säilitab Galilei teisendus geomeetrilised objektid - sirged, kolmnurgad jne. aga samuti sirgete vahelised nurgad ja geomeetriliste objektide pindalad. Ruumi A⁴ Galilei teisenduste hulk moodustab Galilei rühma ruumil A⁴.

Ruum R×R³, kus R³ on varustatud eukleidilise struktuuriga, omab loomulikku Galilei struktuuri. Kõik Galilei ruumid on isomorfsed ruumiga R×R³ (st. nende vahel on võimalik korraldada üks-ühest vastavust).

Ruumi R×R³ Galilei teisenduste hulgas eksisteerivad järgmised teisendused:

• liikumine konstantse kiirusega: g₁(t,x)=(t,x + vt);
• koordinaatide alguspunkti nihe: g₂(t,x)=(t+s,x + s);
• koordinaatsüsteemi pööre: g₃(t,x)=(t,Gx), kus G on ortogonaalne teisendus R³→R³.

Ruumi R×R³ iga Galilei teisendus on üheselt esitatav kujul g₁·g₂·g₃. Seega on Galilei rühm ruumil R×R³ 10-mõõtmeline. Lineaarteisendus L korral L(a + b) = L(a) + L(b), mis ei ole koordinaatsüsteemi alguspunkti nihke ja konstantse kiirusega liikumise korral täidetud. Seega ei ole Galilei teisendus lineaarteisendus ja tema esitamine maatrikskujul ei ole korrektne.
Galilei teisendus jätab muutumatuks kiirenduse. Seega on keha liikumine inertsiaalses koordinaatsüsteemis kirjeldatav võrrandiga

ẍ = F(x,ẋ,t),

kus funktsioon F peab olema invariantne Galilei teisenduste suhtes. Viimane võrrand on tuntud kui Newtoni võrrand. Kui mingid jooned Galilei ruumis on mingi süsteemi trajektoorid, siis rakendades neile Galilei teisendust, saame sama süsteemi trajektoorid mingis teises koordinaatsüsteemis(ja teistel algtingimustel).

Galilei relatiivsusprintsiip seab mõningaid piiranguid Newtoni võrrandile:

Galilei teisenduste hulgas on nihe ajas. Seega ei tohi Newtoni võrrand ilmsi sõltuda ajast. (Sõltuvus ajast võib ilmneda näiteks juhul kui uuritakse Jupiteri mõju Maa liikumisele, siis on võimalik asendada Jupiteri mõju Maa liikumisele ajast sõltuva jõuga.)

Galilei teisenduste hulgas on nihe ruumis ja liikumine konstantse kiirusega. Seega peab Newtoni võrrand olema esitatud kujul:

ẍ = F(x_i-x_j,ẋ_k-ẋ_l)

kus x_i on süsteemi kuuluva i-nda keha koordinaadid.

Funktsiooni F valik määrab ära selle, milliste omadustega süsteemi uuritakse. Newtoni võrrandist järeldub Newtoni determinism: komplekt andmeid, asukohad ja kiirused mingil ajahetkel, määravad ära süsteemi liikumise kõigil järgnevatel ajahetkedel.

Kirjandus

• "Füüsika üldkursus 1", Saveljev, I. ,"Valgus",Tallinn 1978, §17. "Galilei relatiivsusprintsiip", lk.42-44.
• "Математические методы классической механики", Арнольд, В. И., Москва. "Наука". 1979, §2. "Галилеева группа и уравнения Ньютона", lk.8-14.