Aksioom

Aksioom ehk postulaat on matemaatikas väide, mis võetakse tõestuseta aluseks deduktiivse teooria ülejäänud väidete tuletamiseks.^[1]^[2]

Üldkeeles on aksioom väide, mille tõesuses pole kahtlust.

Olenevalt kontekstist, võib mõistele omastada erinevaid tähendusi. Klassikalises filosoofias määratletuna tähendab aksioom väidet, mis on nii ilmne või hästi väljendatud, et seda võetakse tõena selles kahtlemata.^[3] Kaasaegses matemaatilises loogikas tähistab aksioom aga arutluse eeldust või selle alguspunkti.^[4]

Matemaatikas kasutatakse mõistet aksioom kahes omavahel seotud, kuid üksteisest erinevas tähenduses: loogilised aksioomid ja loogikavabad aksioomid. Loogilised aksioomid on tavaliselt väited, mille tõesus on eeldatud selles loogikasüsteemis, kus nad defineeruvad, ning mida tihti esitatakse sümbolkujul (nt (A ja B) järeldub A). Loogikavabad aksioomid (nt a + b = b + a) on aga sisulised väited kindla matemaatilise teooria (nt aritmeetika) valdkonna elementide kohta. Üldiselt ei ole loogikavaba aksioom iseenesestmõistetav tõde, vaid pigem formaalne loogiline väljendus, mida kasutatakse deduktiivse teooria ülesehitamiseks.

Teadmiste süsteemi aksiomatiseerima tähendab näitama, et selle süsteemi väited tulenevad lihtsatest ja arusaadavatest lausetest ehk aksioomidest. Mõlemas tähenduses on aksioom matemaatiline väide, mis on teiste loogiliselt tuletatud väidete lähtepunktiks.^[5]

Matemaatiline loogika

Matemaatilises loogikas eristatakse kahte aksioomitüüpi: loogiline aksioom ja loogikavaba aksioom.

Loogilised aksioomid

Need on formaalses keeles kindlad valemid, mis on üldkehtivad, st valemid, mida rahuldavad ükskõik millised väärtused.

Näited

Lausearvutus

Lausearvutuses on tavaks loogilisteks aksioomideks võtta kõik valemid järgmistest vormidest, kus $\phi$ , $\chi$ , ja $\psi$ võivad olla mis tahes keele valemid ja kus lauseloogika formaalse keele konnektorid on ainult kas " $\neg$ " vahetult järgneva propositsiooni ehk lause eitamiseks või " $\to$ " implikatsioon eelnevast propositsioonist järgnevasse propositsiooni^[6]:

$\phi \to (\psi \to \phi )$
$(\phi \to (\psi \to \chi ))\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi ))$
$(\lnot \phi \to \lnot \psi )\to (\psi \to \phi ).$

Need on aksiomaatilised skeemid ehk reeglid, mille alusel saab koostada lõpmatu arvu teisi aksioome. Näiteks, kui $A$ , $B$ , ja $C$ on lausearvutuses muutujad, siis $A\to (B\to A)$ ja $(A\to \lnot B)\to (C\to (A\to \lnot B))$ on mõlemad 1. aksiomaatilise skeemi näited, ning on ka järelikult aksioomid. On võimalik näidata, et ainult nende kolme aksiomaatilise skeemi ja modus ponens järeldusreegli kaudu saab tõestada kõik lausearvutuslikud tautoloogiad. Samuti on võimalik tõestada, et ükski paar nendest kolmest skeemist ei ole piisav tõestamaks kõiki tautoloogiaid modus ponens järeldusreegliga. Teised aksiomaatilised skeemid sisaldades samu või teisi lauseloogika konnektoreid on sarnaselt moodustatavad.^[7] Sellised aksiomaatilised skeemid on kasutusel ka predikaatarvutuses, aga kvantifikatsiooni lisamiseks arvutusse on vaja täiendavaid loogilisi aksioome.^[8]

Loogikavabad aksioomid

Loogikavabad aksioomid on valemid, mis täidavad teooriaspetsiifiliste eelduste rolli. Kahe erineva struktuuri, näiteks naturaalarvude ja täisarvude kohta järelduste tegemine võib hõlmata samu loogilisi aksioome; loogikavabade aksioomide eesmärk on aga näidata, mis eristab kindla struktuuri (või struktuuride gruppi) teistest. Seega ei ole loogikavabad aksioomid erinevalt loogilistest aksioomidest tautoloogiad. Loogikavabu aksioome nimetatakse ka postulaatideks.^[9] Peaaegu iga tänapäevane matemaatiline teooria algab teatud loogikavabade aksioomide kogust. Loogikavabu aksioome nimetatakse matemaatikas tihti ka lihtsalt aksioomideks. See ei tähenda, et neid peetakse täielikult tõeseks. Näiteks on mõnes rühmas rühmaoperatsioon kommutatiivne ja seda saab kinnitada täiendava aksioomi kasutuselevõtmisega, kuid ilma selle aksioomita suudame välja töötada üldisema rühmteooria. Seega on aksioom põhiliseks aluseks formaalsele loogikasüsteemile, mis koos järelduste reeglitega määratleb deduktiivse süsteemi.

Näited

Aritmeetika

Peano aksioomid on ühed enimkasutatavad aksiomatiseeringud predikaatloogikast. Nad on aksioomide kogumid, mis on piisavalt tugevad, et tõestada mitmeid olulisi väiteid arvuteooriast. Nende abil sai Kurt Gödel tõestatud oma teise mittetäielikkuse teoreemi.^[10] Olgu antud keel ja signatuur ${\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}$ , kus $0$ on konstant ja $S$ on unaarne tehe, ja järgnevad aksioomid:

$\forall x.\lnot (Sx=0)$
$\forall x.\forall y.(Sx=Sy\to x=y)$
$(\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)$ iga valemi ${\mathfrak {L}}_{NT}$ ühe vabamuutuja $\phi$ kohta.

Harilik struktuur on ${\mathfrak {N}}=\langle \mathbb {N} ,0,S\rangle$ kus $\mathbb {N}$ on naturaalarvude hulk, $S$ on järglaste leidmise funktsioon ja $0$ tõlgendatakse numbrina 0.

Filosoofia

Vana-Kreeka filosoofias nimetati aksioomiks niisugust väidet, mille tõesus on arusaadav ilma tõestuseta.

Francis Bacon nimetas aksioomideks loodusseadusi väljendavaid teaduslikke üldistusi.

Epistemoloogias tähendab aksioom enesestmõistetavat tõde, millel muu teadmine peab põhinema. Tänapäeval on usk niisuguste aksioomide olemasolusse hääbumas.

Vaata ka

Viited

↑ Cf. axiom, n., etymology. Oxford English Dictionary, accessed 2012-04-28.
↑ Oxford American College Dictionary: "n. a statement or proposition that is regarded as being established, accepted, or self-evidently true. ORIGIN: late 15th cent.: ultimately from Greek axiōma 'what is thought fitting,' from axios 'worthy.' http://www.highbeam.com/doc/1O997-axiom.html^{[alaline kõdulink]} Mall:Subscription
↑ "A proposition that commends itself to general acceptance; a well-established or universally conceded principle; a maxim, rule, law" axiom, n., definition 1a. Oxford English Dictionary Online, accessed 2012-04-28. Cf. Aristotle, Posterior Analytics I.2.72a18-b4.
↑ "A proposition (whether true or false)" axiom, n., definition 2. Oxford English Dictionary Online, accessed 2012-04-28.
↑ See for example Maddy, Penelope (juuni 1988). "Believing the Axioms, I". Journal of Symbolic Logic. 53 (2): 481–511. DOI:10.2307/2274520. ISSN 0022-4812. for a realist view.
↑ Reimo Palm, Rein Prank. Sissejuhatus matemaatilisse loogikasse, Tartu: Tartu Ülikooli Arvutiteaduse Instituut, 2004
↑ Mendelson, "6. Other Axiomatizations" of Ch. 1
↑ Mendelson, "3. First-Order Theories" of Ch. 2
↑ Mendelson, "3. First-Order Theories: Proper Axioms" of Ch. 2
↑ Mendelson, "5. The Fixed Point Theorem. Gödel's Incompleteness Theorem" of Ch. 2

[1] Cf. axiom, n., etymology. Oxford English Dictionary, accessed 2012-04-28.

[2] Oxford American College Dictionary: "n. a statement or proposition that is regarded as being established, accepted, or self-evidently true. ORIGIN: late 15th cent.: ultimately from Greek axiōma 'what is thought fitting,' from axios 'worthy.' http://www.highbeam.com/doc/1O997-axiom.html^{[alaline kõdulink]} Mall:Subscription

[3] "A proposition that commends itself to general acceptance; a well-established or universally conceded principle; a maxim, rule, law" axiom, n., definition 1a. Oxford English Dictionary Online, accessed 2012-04-28. Cf. Aristotle, Posterior Analytics I.2.72a18-b4.

[4] "A proposition (whether true or false)" axiom, n., definition 2. Oxford English Dictionary Online, accessed 2012-04-28.

[5] See for example Maddy, Penelope (juuni 1988). "Believing the Axioms, I". Journal of Symbolic Logic. 53 (2): 481–511. DOI:10.2307/2274520. ISSN 0022-4812. for a realist view.

[6] Reimo Palm, Rein Prank. Sissejuhatus matemaatilisse loogikasse, Tartu: Tartu Ülikooli Arvutiteaduse Instituut, 2004

[7] Mendelson, "6. Other Axiomatizations" of Ch. 1

[8] Mendelson, "3. First-Order Theories" of Ch. 2

[9] Mendelson, "3. First-Order Theories: Proper Axioms" of Ch. 2

[10] Mendelson, "5. The Fixed Point Theorem. Gödel's Incompleteness Theorem" of Ch. 2

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]