Abeli integraal

Abeli integraal (norra matemaatiku Niels Abeli järgi) on integraal kujul

$\int _{z_{0}}^{z}R\left(x,w\right)dx,$

kus R on muutujate x ning w ratsionaalfunktsioon, kusjuures w on omakorda algebraline funktsioon muutujast x. Täpsemalt, x ja w on seotud võrrandiga

$F\left(x,w\right)=0,\,$

kus $F\left(x,w\right)$ on muutuja $w$ polünoom:

$F\left(x,w\right)\equiv \phi _{n}\left(x\right)w^{n}+\cdots +\phi _{1}\left(x\right)w+\phi _{0}\left(x\right),\,$

mille kordajad $\phi _{j}\left(x\right)$, $j=0,1,\ldots ,n$ on muutuja x ratsionaalfunktsioonid. Abeli integraali väärtus ei sõltu vaid integraali rajadest vaid ka joonest komplekstasandil, üle mille integreeritakse. Viimane asjaolu muudab Abeli integraali muutuja z mitmeseks funktsiooniks.

Eijuhud

Abeli integraalid onüldistavad elliptilisi integraale, mis vastavad olukorrale

$F\left(x,w\right)=w^{2}-P\left(x\right),\,$

kus P on kolmandat või neljandat järku polünoom. Juhul, kui P järk on suurem kui 4, on tegemist hüperelliptilise integraaliga.