Tasand

See artikkel räägib matemaatika mõistest; filosoofia mõiste kohta vaata artiklit Tasand (filosoofia); anatoomia mõiste kohta vaata artiklit Tasand (anatoomia)

---

Tasand ehk tasapind on kahemõõtmeline eukleidiline ruum. See on punkti ja sirge kahemõõtmeline analoog. Tasand võib olla mõne kõrgemamõõtmelise ruumi alamruum või ka iseseisev matemaatiline objekt. Antud artikkel keskendub tasandile kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis.

Tasand kolmemõõtmelises ruumis

Kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis ℝ³ on tasandi võrrand viidava lati kujule

$ax + by + cz + d = 0 \, .$

kus x, y, z on tasandi punkti koordinaadid ja a, b, c, d [[reaalarv]ulised kordajad.

Tasand on samuti üheselt määratud iga järgneva kombinatsiooniga:

• kolme mitte-kollineaarse tasandil asuva punktiga;
• tasandil asuva sirge ja väljaspool seda sirget asuva punktiga, mis asub tasandil;
• kahe tasandil asuva sirgega;

Tasandi määramine punkti normaalvektori abil

Tasandi võrrand on normaalvektori $\,\vec{n}=(a; b; c)$ abil esitatav kujul

$\vec{n} \cdot (\vec{r}-\vec{r}_0) = 0 \, ,$

kus $\,\vec{r}=(x; y; z)$ on tasandil asetseva punkti kohavektor. See võrrand kehtib iga tasandi punkti jaoks. Seega, kui teame, et $\,\vec{r}_{0} =(x_{0}; y_{0}; z_{0})$ on mingi punkt tasandil, siis peab kehtima $\vec{n} \cdot \vec{r}_{0} = -d, \,$. Et vektorite skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vektorid on risti, siis ütleb viimane võrrand, et tasand on selline pind, mis läbib punkti $\vec{r}_{0}$ ja mille suvalist kaht punkti ühendav vektor on risti vektoriga $\vec{n}$.

Tasandi määramine kolme mitte-kollineaarse punktiga

Olgu $\vec r_1 = (x_1 ; y_1 ; z_1)$, $\vec r_2 = (x_2 ; y_2 ; z_2)$ ja $\vec r_3 = (x_3 ; y_3 ; z_3)$ mitte-kollineaarsete punktide kohavektorid.

Meetod 1

Tasandi võrrand on antud järgneva determinandiga:

$\left| \begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array} \right|=0$

mis Laplace'i arendust kasutades annab võrrandi kujul

$\left(x-x_1\right) \left| \begin{array}{cc} y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array} \right|-\left(y-y_1\right) \left| \begin{array}{cc} x_2-x_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & z_3-z_1 \end{array} \right|+\left(z-z_1\right) \left| \begin{array}{cc} x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 \end{array} \right|=0$

Esimese 3x3 derminandi saab samaväärselt esitada segakorrutisena. See annab võrrandi

$(\vec r - \vec r_1) \times (\vec r_1 - \vec r_2) \cdot (\vec r_2 - \vec r_3) = 0.$

Meetod 2

Et kolm punkti asuvad tasandil, siis peavad nad rahuldama tasandi võrrandit:

$\left\{ \begin{array}{c} ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0 \\ ax_2 + by_2 + cz_2 + d = 0 \\ ax_3 + by_3 + cz_3 + d = 0 \end{array} \right.$

Defineerides

saab kordajad a, b, c leida Crameri valemite abil:

$a = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix} 1 & y_1 & z_1 \\ 1 & y_2 & z_2 \\ 1 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}, \quad b = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix} x_1 & 1 & z_1 \\ x_2 & 1 & z_2 \\ x_3 & 1 & z_3 \end{vmatrix}, \quad c = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}, \quad \mbox{kus } \, D = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}.$

d on siin vabalt valitav suurus. Võrrandite lõplikuks lahendamiseks võib parameetrile d anda suvalise (nullist erineva) väärtuse.

Kui tasand ei läbi koordinaatide alguspunkti, siis D ≠ 0 kohavektorite mitte-kollineaarsed tõttu. Antud meetod ei tööta, kui tasand läbib koordinaatide alguspunkti, sest siis pole võimalik valida punkte, mille kohavektorid oleksid mitte-komplanaarsed, mistõttu D = 0.

Meetod 3

Tasandi normaalvektori saab esitada kahe tasandil asetseva mitteparalleelse vektori vektorkorrutisena:

$\vec n = ( \vec r_2 - \vec r_1 ) \times (\vec r_3 - \vec r_1 ) \, ,$

Tasandi üheseks määramiseks on tarvis veel punkti tasandil, milleks võib valid ühe punktidest $\vec r_1$, $\vec r_2$ või $\vec r_3$.

Punkti kaugus tasandist

Olgu antud suvaline punkt kohavektoriga $\vec r_1 = (x_1, y_1, z_1)$ ja tasand Π võrrandiga $\,ax + by + cz + d = 0$, siis punkti $\vec r_0$ kaugus tasandist on

$\varrho (\vec r_1 ,A)= \frac{\left|d+ a\text{x}_1+\text{b}y_1+\text{c}z_1\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\, .$

Normaalvektori abil ja mõne tasandil asuva punkti $\vec r_0$ abil saab kauguse esitada kujul

$\varrho (\vec r_1 ,A)= \left|\hat n\cdot(\vec r_1 - \vec r_0)\right|\, ,$

kus $\hat n$ on tasandi ühiknormaalvektor.

Kahetahuline nurk tasandite vahel

Olgu antud kaks tasandit $\Pi_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0\,$ ja $\Pi_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0\,$. Tasandite vaheline kahetahuline nurk $\alpha$ on nurk nende tasandite normaalvektorite vahel:

$\cos\alpha = \hat n_1\cdot \hat n_2 = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}.$

kus $\hat n_1$ ja $\hat n_2$ on vastavate tasandite ühiknormaalvektorid.

Puutujatasand

Pinna $\,z = e^{-(x^2 + y^2)}$ puutujatasand punktis (0.2, 0.2, f(0.2,0.2)).

Olgu pind esitatud ilmutamata kujul võrrandiga $F(x,y,z) = 0$, siis pinna puutujatasandi võrrand (pinnal asetsevas) punktis $\vec r_0 = (a, b, c)$ on

$\,\frac{\partial F(a,b,c)}{\partial x} (x-a) + \frac{\partial F(a,b,c)}{\partial y}(y-b) + \frac{\partial F(a,b,c)}{\partial z}(z-c) = 0 \, ,$

ehk gradiendi abil esitatuna

$(\vec r-\vec r_0)\cdot\vec \nabla F(\vec r_0) = 0 \, .$

Hüpertasand

 Pikemalt artiklis Hüpertasand

n-mõõtmelise ruumi (n-1)-mõõtmelist tasast alamruumi ninetatakse hüpertasandiks. Hüpertasandi võrrand on

$a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + d = 0$, või lihtsalt $\left(\sum _{i=1}^n a_ix_i\right)+d=0$.

Vaata ka

• Pind
• Komplekstasand
• Pooltasand
• Ebatasand