Konvolutsioon

Konvolutsioon on matemaatiline operatsioon, mis seab kahele funktsioonile f ja g vastavusse kolmanda funktsiooni, mida tähistatakse harilikult sümboliga f∗g. See on integraal funktsioonide f ja g korrutisest, kus ühe funktsiooni argumenti on peegeldatud ja nihutatud:

$(f * g )(t)\ \ \,$	$\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{-\infty}^\infty f(\tau)\, g(t - \tau)\, d\tau$
	$= \int_{-\infty}^\infty f(t-\tau)\, g(\tau)\, d\tau.$       (kommutatiivsus)

Konvolutsiooni kasutatakse näiteks tõenäosusteoorias, statistikas, signaalitöötluses, optikas ja lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendamisel.

Omadused

Algebralised omadused

Kommutatiivsus

$f * g = g * f \,$

Assotsiatiivsus

$f * (g * h) = (f * g) * h \,$

Distributiivsus

$f * (g + h) = (f * g) + (f * h) \,$

Assotsiatiivsus korrutamisel skalaariga

$a (f * g) = (a f) * g = f * (a g) \,$

kus ${a}\,$ on suvaline reaalarv (või kompleksarv).

Kaaskompleksi võtmine

$\overline{f * g} = \overline{f} * \overline{g} \!\$

Multiplikatiivne ühikelement

$f*\delta = f\,$

kus δ on Diraci deltafunktsioon.

Integreerimine

Kui ƒ ja g on integreeruvad funktsioonid, siis integraal nende konvolutsioonist faktoriseerub:

$\int_{\mathbf{R}^d}(f*g)(x) \, dx=\left(\int_{\mathbf{R}^d}f(x) \, dx\right)\left(\int_{\mathbf{R}^d}g(x) \, dx\right).$

Tuletise võtmine

Ühe muutuja funktsioonide korral

$\frac{d}{dx}(f * g) = \frac{df}{dx} * g = f * \frac{dg}{dx} \,$

kus d/dx on tuletis. Mitme muutuja funktsioonide juhul kehtib analoogne samasus osatuletise jaoks:

$\frac{\partial}{\partial x_i}(f * g)(x) = \frac{\partial f}{\partial x_i} * g = f * \frac{\partial g}{\partial x_i}.$

Fourier' pöörde võtmine

Funktsioonide ƒ ja g konvolutsiooni Fourier' pööre on ƒ ja g Fourier' pöörete konvolutsioon:

$\mathcal{F}[f * g] = \mathcal{F}[f] \mathcal{F}[g] \,$,

kus $\mathcal{F}[f]$ tähistab Fourier' pööret funktsioonist f.

Vaata ka

• Ristkorrelatsioon

Välislingid

• Convolution leheküljel MathWorld.