Konvolutsioon

Allikas: Vikipeedia

Konvolutsioon on matemaatiline operatsioon, mis seab kahele funktsioonile f ja g vastavusse kolmanda funktsiooni, mida tähistatakse harilikult sümboliga fg. See on integraal funktsioonide f ja g korrutisest, kus ühe funktsiooni argumenti on peegeldatud ja nihutatud:

(f * g )(t)\ \ \,   \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{-\infty}^\infty f(\tau)\, g(t - \tau)\, d\tau
= \int_{-\infty}^\infty f(t-\tau)\, g(\tau)\, d\tau.       (kommutatiivsus)

Konvolutsiooni kasutatakse näiteks tõenäosusteoorias, statistikas, signaalitöötluses, optikas ja lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendamisel.

Omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Algebralised omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kommutatiivsus
f * g = g * f  \,
Assotsiatiivsus
f  * (g  * h) = (f  * g)  * h \,
Distributiivsus
f  * (g + h) = (f  * g) + (f  * h) \,
Assotsiatiivsus korrutamisel skalaariga
a (f  * g) = (a f)  * g = f  * (a g) \,

kus {a}\, on suvaline reaalarv (või kompleksarv).

Kaaskompleksi võtmine
\overline{f * g} = \overline{f} * \overline{g} \!\
Multiplikatiivne ühikelement
f*\delta = f\,

kus δ on Diraci deltafunktsioon.

Integreerimine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kui ƒ ja g on integreeruvad funktsioonid, siis integraal nende konvolutsioonist faktoriseerub:

\int_{\mathbf{R}^d}(f*g)(x) \, dx=\left(\int_{\mathbf{R}^d}f(x) \, dx\right)\left(\int_{\mathbf{R}^d}g(x) \, dx\right).

Tuletise võtmine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Ühe muutuja funktsioonide korral

\frac{d}{dx}(f * g) = \frac{df}{dx}  * g = f * \frac{dg}{dx} \,

kus d/dx on tuletis. Mitme muutuja funktsioonide juhul kehtib analoogne samasus osatuletise jaoks:

\frac{\partial}{\partial x_i}(f * g)(x) = \frac{\partial f}{\partial x_i} * g = f * \frac{\partial g}{\partial x_i}.

Fourier' pöörde võtmine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Funktsioonide ƒ ja g konvolutsiooni Fourier' pööre on ƒ ja g Fourier' pöörete konvolutsioon:

\mathcal{F}[f * g] = \mathcal{F}[f] \mathcal{F}[g] \,,

kus \mathcal{F}[f] tähistab Fourier' pööret funktsioonist f.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Välislingid[muuda | redigeeri lähteteksti]