Taylori valem

Allikas: Vikipeedia
Merge-arrow.svg
See artikkel on esitatud liitmiseks artikliga Taylori rida. Lisainfot artikli arutelust

Taylori valem annab pideva funktsiooni punkti ja selle lähisümbruse lähendamiseks n-ndat järku polünoomi. Kuna summa polünoom koosneb funktsiooni tuletistest, siis saab seda leida vaid juhul, kui funktsioonil mingis punktis a on kõik tuletised kuni järguni n. Juhul, kui eksisteerib ka (n+1)-järku tuletis kohal a, siis saame leida ka jääkliikme.

Ühe muutuja funktsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:

 f(x) \approx f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n.

, mis kompaktsemalt kirja panduna summa notatsiooniga omandab kuju:

 f(x) \approx \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}

Vea hinnang[muuda | redigeeri lähteteksti]

Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse f(x) vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt.

Kui n ≥ 0 on täisarv ja f\, on funktsioon, mis on n korda pidevalt diferentseeruv lõigul [a, x] ja n + 1 korda diferentseeruv vahemikus (a, x), siis leidub arv \xi \in (a, x) nii, et
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}.

Polünoomile jääkliikme lisamisel muutub väärtus ligikaudsest võrdseks:

f(x) = \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n} + R_n(x)

Erijuhul, a = 0, saame Maclaurini valemi:

f(x) = \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(0)}{n!} \, x^{n} + R_n(x)

Näited[muuda | redigeeri lähteteksti]

Eksponentfunktsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Lihtne näide Taylori valemist on eksponentfunktsiooni e^x\, lähendamine x = 0 juures:

 \textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.

Trigonomeetrilised funktsioonid[muuda | redigeeri lähteteksti]

\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ iga } x\!\text{-i korral.}
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\text{ iga } x\!\text{-i korral.}
\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\text{ igale x-ile vahemikus }|x| < \frac{\pi}{2}\!
Kus Bs on Bernoulli numbrid.

Mitme muutuja funktsiooni Taylori rida[muuda | redigeeri lähteteksti]

Taylori valem esitab reaal- või kompleksarvulise funktsiooni, mis peab olema polünoomi astme n+1'i reaal- või kompleksarvuliste väljade ümbruses differenseeruv, kahe muutuja funktsiooni binoomide (x - a) ja (y - b) astmete polünoomi ja ühe jääkliikme summana, kus polünoomi aste on n.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Välislingid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Video icon2.png Salman Khan. CALCULUS » Taylor Polynomials : Approximating a function with a Taylor Polynomial, Jun 18, 2008. (Khan Academy). http://khanexercises.appspot.com/.&#32;(xHTML) Kasutatud 06.03.2011. (inglise keeles)  Litsents: CC-logo.svg
Video icon2.png David Jerison. ( 18.01 ) Single Variable Calculus, Lecture 38 : Taylor's series, Fall 2006. (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare). http://ocw.mit.edu.&#32;(xHTML) Kasutatud 06.03.2011. (inglise keeles)  Litsents: CC-logo.svg
Video icon2.png Joel Lewis. ( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Finding Taylor's Series. (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare). http://ocw.mit.edu.&#32;(xHTML) Kasutatud 06.03.2011. (inglise keeles)  Litsents: CC-logo.svg
Video icon2.png Joel Lewis. ( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Taylor's Series for sec(x). (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare). http://ocw.mit.edu.&#32;(xHTML) Kasutatud 06.03.2011. (inglise keeles)  Litsents: CC-logo.svg
Video icon2.png Christine Breiner. ( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Taylor's Series of a Polynomial. (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare). http://ocw.mit.edu.&#32;(xHTML) Kasutatud 06.03.2011. (inglise keeles)  Litsents: CC-logo.svg