Taylori valem

Taylori valem annab pideva funktsiooni punkti ja selle lähisümbruse lähendamiseks n-ndat järku polünoomi. Kuna summa polünoom koosneb funktsiooni tuletistest, siis saab seda leida vaid juhul, kui funktsioonil mingis punktis a on kõik tuletised kuni järguni n. Juhul, kui eksisteerib ka (n+1)-järku tuletis kohal a, siis saame leida ka jääkliikme.

Ühe muutuja funktsioon

Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:

$f(x)\approx f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.$

, mis kompaktsemalt kirja panduna summa notatsiooniga omandab kuju:

$f(x)\approx \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

Vea hinnang

Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse $f(x)$ vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt.

Kui n ≥ 0 on täisarv ja $f\,$ on funktsioon, mis on n korda pidevalt diferentseeruv lõigul [a, x] ja n + 1 korda diferentseeruv vahemikus (a, x), siis leidub arv $\xi \in (a,x)$ nii, et

$R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.$

Polünoomile jääkliikme lisamisel muutub väärtus ligikaudsest võrdseks:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}+R_{n}(x)$

Erijuhul, a = 0, saame Maclaurini valemi:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}+R_{n}(x)$

Näited

Eksponentfunktsioon

Lihtne näide Taylori valemist on eksponentfunktsiooni $e^{x}\,$ lähendamine x = 0 juures:

${\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}.$

Trigonomeetrilised funktsioonid

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ iga }}x\!{\text{-i korral.}}$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ iga }}x\!{\text{-i korral.}}$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ igale x-ile vahemikus }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

Kus B_s on Bernoulli numbrid.

Mitme muutuja funktsiooni Taylori rida

Taylori valem esitab reaal- või kompleksarvulise funktsiooni, mis peab olema polünoomi astme n+1 reaal- või kompleksarvuliste väljade ümbruses diferentseeruv, kahe muutuja funktsiooni binoomide (x - a) ja (y - b) astmete polünoomi ja ühe jääkliikme summana, kus polünoomi aste on n.

Vaata ka

• Maclaurini rida
• Laurent'i rida
• Analüütiline funktsioon