Järjestatud paar

Allikas: Vikipeedia

Järjestatud paar koondab kaks objekti: esimese elemendi ja teise elemendi. Järjestatud paari, mille esimene element on a ja teine element b, märgitakse tavaliselt (a; b).

Kaks niisugust järjestatud paari (a1; b1) ja (a2; b2) on identsed siis ja ainult siis, kui a1 = a2 ja b1 = b2.

Järjestatud paari esimene ja teine element võetakse teineteisest sõltumatult, nii et nad võivad ka omavahel kokku langeda. Kui need kaks objekti on erinevad, siis nende järjestus on oluline: kui ab, siis (a; b)≠(b; a).

Järjestatud paari tõlgendatakse sageli lõpliku jadana pikkusega 2.

Otsekorrutised ja seosed[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kõikide niisuguste järjestatud paaride hulka, mille esimene element on mingi hulga X element ja mille teine element on mingi hulga Y element, nimetatakse hulkade X ja Y otsekorrutiseks. Selle alamhulki nimetatakse mõnikord vastavusteks või seosteks.

Järjestatud kolmikud ja n-korteežid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Järjestatud kolmikud ja n-korteežid (n termini järjestatud loendid) defineeritakse sellest definitsioonist lähtudes rekurrentselt: järjestatud kolmikut (a;b;c) võib defineerida kahe järjestatud paarina, mis on pesastatud: (a; (b; c) ).

Järjestatud paarid programmeerimises[muuda | redigeeri lähteteksti]

Nii tehakse ka programmeerimiskeeltes: elementide loendit saab esitada konstruktsioonina pesastatud järjestatud paaridest. Näiteks loendit (1 2 3 4 5) esitatakse kujul (1, (2, (3, (4, (5, {}))))). Programmeerimiskeel LISP kasutab selliseid loendeid andmete esitamise põhilise vahendina.

Järjestatud paarid hulgateoorias[muuda | redigeeri lähteteksti]

Puhtas hulgateoorias, kus on ainult hulgad, saab järjestatud paari (a; b) defineerida hulgana { {a}, {a, b} }. Propositsiooni, et x on järjestatud paari p esimene element, saab siis formuleerida nii:

Yp : xY;

ja propositsiooni, et x on järjestatud paari p teine element, saab formuleerida nii:

(∃Yp : xY) ∧ (∀Y1p, ∀Y2p : Y1Y2 → (¬ (xY1) ∨ ¬ (xY2))).

See definitsioon kehtib ka järjestatud paari p = (x;x) = { {x}; {x,x} } = { {x}; {x} } = { {x} } korral; sel juhul on propositsioon (∀ Y1p, ∀ Y2p : Y1Y2 → (¬(xY1) ∨ ¬(xY2))) triviaalselt tõene, sest kunagi pole nii, et Y1Y2.

Ka hulgateooria tavalises Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas, millesse kuulub regulaarsuse aksioom, saab järjestatud paari (a; b) defineerida hulgana {a; {a; b}}. Ilma regulaarsuse aksioomita seda teha ei saa, sest muidu saab vaadelda hulki x ja z, mille korral x = {z}, z = {x} ja xz. Sel juhul

(x; x) = {x; {x; x}} = {x; {x}} = {x; z} = {z; x} = {z; {z}} = {z; {z; z}} = (z; z)

kuigi me tahaksime, et (x;x) ≠ (z;z).