Otsekorrutis

Allikas: Vikipeedia

Otsekorrutis defineeritakse matemaatikas kahe teatud liiki objekti jaoks teatava kolmanda sama liiki objektina. Defineerime otsekorrutise kõigepealt hulkade, siis teiste matemaatiliste objektide jaoks.

Hulkade otsekorrutis[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kui on antud kaks hulka X ja Y, siis nende otsekorrutis ehk Descartes'i korrutis ehk Cartesiuse korrutis ehk ristkorrutis X × Y on kõikide niisuguste järjestatud paaride hulk, mille esimene liige on hulga X element ja teine liige on hulga Y element.

X × Y = { (x,y) | xX ja yY }

Näiteks kui X on hulk {A, K, E, S, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} ja Y on hulk {poti, ruutu, ärtu, risti}, siis nende hulkade otsekorrutis X × Y on hulk { (A, poti), (K, poti), ... (2, poti), (A, ärtu), ... (3, risti), (2, risti) }.

Kui A={a, b} ja B={c,d,e}, siis A×B = { (a, c), (a, d), (a,e), (b, c), (b, d), (b, e)}

Juhul kui X=Y, siis hulga X otsekorrutist iseendaga tähistatakse X2.

Teine näide on tasand \mathbb R\times \mathbb R, kus \mathbb R on kõikide reaalarvude hulk.

Kahe hulga otsekorrutise alamhulgad on definitsiooni kohaselt binaarsed seosed.

Mõned otsekorrutise omadused on:

  • Mis tahes hulga otsekorrutis tühja hulgaga on alati tühi hulk.
  • Kui X ja Y on lõplikud hulgad, siis hulga X × Y võimsus (elementide arv) on hulkade X ja Y võimsuste korrutis.
  • Hulk A × B on üldjuhul erinev hulgast B × A.


Kahe hulga otsekorrutise üldistamisel saame n hulga X1,... ,Xn (üldistatud) otsekorrutise:

X1 × ... × Xn = { (x1,... ,xn) | x1X1 ja ... ja xnXn }

Teine tähistusviis on

\prod_{i=1}^n X_i .

Otsekorrutist võib samastada hulgaga (X1 × ... × Xn–1) × Xn. See on n-korteežide hulk.

Juhul kui X1= ... =Xn=X, tähistatakse otsekorrutist Xn.

Üks niisuguse korrutise näide on kolmemõõtmeline eukleidiline ruum \mathbb R\times \mathbb R\times \mathbb R=\mathbb R^3, kus \mathbb R on reaalarvude hulk.

Kui X={0,1}, siis X3 = X × X × X = {(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)}.

Kui mõne i korral Xi=f, siis V1×V2×V3×....Vn = f.

Otsekorrutist nimetatakse René Descartes'i nime järgi ka Descartes'i ehk Cartesiuse korrutiseks. See mõiste sündis koos analüütilise geomeetriaga, kui Descartes võttis tarvitusele Descartes'i koordinaadid.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]