Fibonacci jada

Allikas: Vikipeedia
Fibonacci continuous.png
FibonacciBlocks.svg
Fibonacci spiral 34.svg

Fibonacci jada on arvude jada, mille kaks esimest liiget on vastavalt F1=0 ja F2=1 ning iga järgnev liige on kahe eelneva liikme summa. Jada esimesed liikmed on

0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;233,\;377,\;610,\ \ldots.

(esimesed 500 elementi on loetletud siin).

Fibonacci jada {Fn} defineeritakse rekurrentse seosega

F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \,

mis lahendatakse algtingimustel

F_0 = 0, \quad F_1 = 1. \,

Ajalugu[muuda | redigeeri lähteteksti]

Teadaolevalt esinevad Fibonacci arvud esmakordselt mātrāmeru nime all Pingala sanskritikeelses käsikirjas Chandaḥśāstra ('Prosoodiakunst'; 450 eKr või 200 eKr).

Aastal 1202 tutvustas seda jada läänemaailmale itaalia matemaatik Leonardo Fibonacci[viide?].

Pealiige[muuda | redigeeri lähteteksti]

Fibonacci arvud on tihedalt seotud kuldlõikega: kui valida piisavalt suur Fibonacci arv, siis on sellele eelnev Fibonacci arv sellest alati ligikaudu kuldlõike suhtarvu pöördväärtus 1/\varphi \approx 0,618 korda väiksem ning järgnev arv on sellest \varphi \approx 1,618 korda suurem.

Viimast väljendab asjaolu, et Fibonacci jada esitub kujul

F_{n} = \frac{\varphi^{n} - (-\varphi)^{-n}}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^{n} - (1-\varphi)^{n}}{\sqrt{5}},

kus \varphi on kuldlõike suhtarv. See valem saadakse eeltoodud rekurrentse seose F_n = F_{n-1} + F_{n-2} lahendamisel algtingimustel F_0 = 0, F_1 = 1.

Loodus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Fibonacci jada võib kohata ka looduses. Näiteks taimede ehituses: et lehed ühtlaselt päikest saaksid, on need paigutunud korrapäraselt. Näiteks kahe kohakuti lehe vahel on tihti Fibonacci arv[viide?] lehti. Sama on täheldatud ka käbi kihtide puhul[viide?].

Lucas' jada[muuda | redigeeri lähteteksti]

Lucas' jada liikmed defineeritakse samuti rekursiivselt kahe eelneva liikme summana, kuid selle esimesed liikmed erinevad Fibonacci jada omadest, mistõttu on Lucas' jada Fibonacci jadast erinev. Selle esimesed liikmed on:

2,\;1,\;3,\;4,\;7,\;11,\;18,\;29,\ \ldots.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Välislink[muuda | redigeeri lähteteksti]