Klass (matemaatika)

Allikas: Vikipeedia

Klass on hulgateoorias ja selle rakendustes kogu matemaatikas hulkade (või ka muude matemaatiliste objektide) kogum, mida saab üheselt määratleda omaduse kaudu, mis on kõikidele klassi elementidele ühine.

Mõned klassid on hulgad, näiteks kõikide paaritute täisarvude klass, mõned mitte, näiteks kõikide ordinaalarvude klass ja kõikide hulkade klass.

Klasse, mis ei ole hulgad, nimetatakse pärisklassideks.

Pärisklass ei saa olla hulga ega klassi element. Hulgateooria Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika on nii ehitatud, et pärisklassid jäävad hulkade seast välja. Nii välditakse naiivse hulgateooria paradokse. Nendest paradoksidest saavad tõestused, et üks või teine klass on pärisklass. Näiteks Russelli paradoksist saab tõestus, et kõikide hulkade klass on pärisklass, ja Burali-Forti paradoksist saab tõestus, et kõikide ordinaalarvude klass on pärisklass.

Standardne Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika klassidest ei räägi. Klassidest räägitakse üksnes metakeeles kui loogikavalemite ekvivalentsiklassidest.

Von Neumanni-Bernaysi-Gödeli aksiomaatika läheneb asjale teisiti: seal on klassid põhiobjektideks ning hulk defineeritakse klassina, mis on mõne teise klassi element. Pärisklassid on sel juhul need klassid, mis ei ole mõne teise klassi elemendid.

Mõned matemaatilised objektid on "liiga suured", et neid hulkadena vaadelda. Selleasemel vaadeldakse neid klassidena. Sellised on näiteks suured kategooriad ja sürreaalarvude klass.

Sõna "klass" kasutatakse mõnikord sõna "hulk" sünonüümina. Tuntuim on selle sõna tarvitamine terminites "ekvivalentsiklass" ja "jäägiklass". Selline kasutus pärineb ajast, mil klasside ja hulkade vahel vahet ei tehtud.

19. sajandil ja varem mõeldi klasside all õigupoolest tänapäeva mõistes hulki või siis oli see mõiste ebamäärane.