Splain

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search
Üksikud sõlmed 1/3 ja 2/3 juures loovad kolm kuuppolünoom-splaini pidevusega C2. Kolmekordne sõlm intervalli mõlemas otsas tagab, et kõver interpoleerib lõpp-punkte.

Splain on sile, ühesuguse struktuuriga tükiti polünomiaalne funktsioon, mis liitepunktides rahuldab teatud sileduse tingimusi. Interpolatsiooniprobleemides eelistatakse tihtipeale splain-interpolatsiooni polünomiaalsele interpolatsioonile, kuna see annab sarnaseid tulemusi, isegi kui kasutada madala astme polünoome.[1]

Mõiste "splain" pärineb painduvatest spiraalsetest seadmetest, mida laevaehitajad ja joonestajad kasutavad siledate kujundite saamiseks.[2]

Sissejuhatus[muuda | muuda lähteteksti]

Mõistet "splain" kasutatakse viitamiseks laiale funktsioonide klassile, mis tegeleb andmete interpoleerimise ja/või silumisega. Andmed võivad olla kas ühe- või mitmemõõtmelised. Splainidega lähendamine on tükiti interpoleerimine ühe ja sama astme polünoomiga.[1]

Splain-funktsioonid on olemuselt piiratud mõõtmed, mis on peamine põhjus nende kasulikkuseks arvutustes ja esitustes. Ülejäänud artiklis on keskendutud täielikult ühemõõtmelistele, polünoomsetele splainidele ja kasutatud terminit "splain" selles piiratud tähenduses.

Definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Lihtsaim splain on tükiti polünomiaalne funktsioon, kus igal polünoomil on üks muutuja. Splain  võtab väärtused vahemikust ja määrab need reaalarvude hulka:

Kuna on tükiti määratletud, valime  lõiku vahemikus :

Kõik need lõigud on seotud polünoomiga ,

.

-ndas lõigus vahemikus on  määratletud  abil,

Antud punkti  nimetatakse sõlmedeks. Vektorit  nimetatakse splaini sõlme vektoriks. Kui sõlmed on ühtlaselt jaotatud vahemikus siis splaini nimetatakse ühtlaseks, vastasel juhul nimetatakse splaini ebaühtlaseks.[3]

Kui -nda polünoomi tükkidel  on iga aste vähemalt , siis splain on astmega  (või ).

Kui  kehtib punkti  naabruses, siis on splain sile (vähemalt)  kohal . See tähendab, et kohal jagavad ja  ühist tuletisväärtust astmest (funktsiooni väärtusest) kuni astmeni  (teisisõnu, kahe kõrvuti asetseva polünoomi tükki ühendavad kõige rohkem sileduse kaotust).

Vektorit  kus splainil on siledus  kohal   nimetatakse splaini sileduse vektoriks.[1]

Näited[muuda | muuda lähteteksti]

Oletame, et intervall on ja alamintervallid on. Oletame, et polünoomi tükid peavad olema astmega ja tükid vahemikus ja peavad ühinema väärtuse ja esimese tuletisega ( korral) samal ajal kui tükid vahemikus ja ühinevad lihtsalt väärtusega ( korral). See määrab splaini tüübi, mille kohaselt

oleks selle tüübi liige ja ka

oleks selle tüübi liige. (Märkus: kuigi polünoomi tükk ei ole ruutpolünoom, siis tulemust kutsutakse ikka ruutsplainiks. See näitab, et splaini astmeks on polünoom-osade maksimaalne aste.) Sellist tüüpi splaini pikendatud sõlme vektor oleks .

Kõige lihtsam splain on astmega . Seda nimetatakse ka astmeliseks funktsiooniks. Järgmine kõige lihtsam splain on astmega . Seda kutsutakse ka lineaarsplainiks.[4] Kinnine lineaarsplain (st esimene ja viimane sõlm langevad kokku) on lihtsalt hulknurk.

Tavaline splain on naturaalne . astme kuupsplain.[5] Sõna "naturaalne" tähendab, et splaini polünoomi teine tuletis on interpoleerimise intervalli lõpp-punktides võrdne nulliga:

Algoritm kuupsplainide arvutamiseks[muuda | muuda lähteteksti]

Kuupsplainid on kujul . Arvestades koordinaatide komplekti soovime leida hulga  splainiga    

Need peavad rahuldama:

  • .

Defineerime ühe kuupsplaini  5-ennikuna  kus  ja  vastavad varem näidatud kujule ja  on võrdne parameetriga 

Algoritm kuupsplaini arvutamiseks: Sisend: koordinaatide hulk , kus  Väljund: splainide hulk, mis koosneb -ist 5-ennikust

  1. Loo uus massiiv  suurusega  ja iga  korral seadista 
  2. Loo uued massiivid  ja  mõlemad suurusega .
  3. Loo uus massiiv  suurusega  ja iga seadista
  4. Loo uus massiiv suurusega  ja iga  seadista .
  5. Loo uued massiivid  ja  kõik suurusega .
  6. Seadista 
  7. Iga 
    1. .
    2.  .
    3. .
  8. Seadista 
  9.  
  10. Loo uus splainide komplekt ja nimeta see valjund_komplekt. Paiguta sinna splaini .
  11. Iga 
  12. Väljund valjund_komplekt

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. 1,0 1,1 1,2 Schoenberg, Isaac J. (1946). "Contributions to the Problem of Approximation of Equidistant Data by Analytic Functions: Part A.—On the Problem of Smoothing or Graduation. A First Class of Analytic Approximation Formulae". Quarterly of Applied Mathematics 4 (2): 45—99. 
  2. Wegman, Edward J., and Ian W. Wright (1983). "Splines in statistics". Journal of the American Statistical Association 78 (382): 351–365. 
  3. Marek Kolk. "Splain-Kollokatsioonimeetod". Tartu Ülikool, 2012.
  4. Tõnu Tõnso. "Splainid". Tallinna Ülikool.
  5. Helle Trossmann. "Ruut- ja kuupsplainidega interpoleerimine". Tartu Ülikool, 2004.

Välislingid[muuda | muuda lähteteksti]

Teooria

Exceli funktsioon

Võrguteenuste pakkujad

Arvutikood