Kategooria (matemaatika)

Allikas: Vikipeedia

Kategooria mõiste on matemaatikas üldistus samalaadsete matemaatiliste objektide vaheliste "morfismide" (hulkade kujutuste, topoloogiliste ruumide pidevate kujutuste, lineaarruumide lineaarkujutuste, rühmade homomorfismide jne) kompositsioonide algebralistest omadustest timgimustel, et on olemas samasusteisendused ning morfismide kogumid on kompositsiooni suhtes kinnised.

Kategooria mõiste pärineb Samuel Eilenbergilt ja Saunders Mac Lane'ilt (1945).

Definitsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Formaalselt koosneb iga kategooria \mathfrak{K} kahest klassist:

  • klassist Ob\mathfrak{K}, mille elemente nimetame kategooria \mathfrak{K} objektideks
  • klassist Mor\mathfrak{K}, mille elemente nimetame kategooria \mathfrak{K} morfismideks, kusjuures morfismidel peavad olema järgmised omadused:
    • igale kahe objekti A, B järjestatud paarile \langle A, B \rangle\; on seatud vastavusse A-st B-sse viivate morfismide ehk noolte klass Mor (A, B)\; (seda tähistatakse mõnikord ka H_\mathfrak{K} (A, B), Hom (A, B)\; või H (A, B)\;). Kui f \in Mor (A, B), siis objekti A nimetame morfismi f alguseks või määramispiirkonnaks ning objekti B tema lõpuks; mõnikord kirjutame  f \in Mor(A, B) asemel f: A \rightarrow B,
    • iga morfism f kuulub ainult ühte klassi Mor (A, B)\;,
    • klassis Mor\mathfrak{K} on defineeritud osaline korrutamisreegel: morfismide f: A \rightarrow B, g: C \rightarrow D korrutis on defineeritud siis ja ainult siis, kui B = C, ning sel juhul kuulub ta klassi Mor (A, D)\;. Nimetame seda morfismide f ja g kompositsiooniks ning tähistame g \circ f või gf.
    • morfismide kompositsioon on assotsiatiivne: kui f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C ja h: C \rightarrow D, siis h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f,
    • igase klassi Mor (A, A)\; kuulub niisugune morfism idA, et mis tahes morfismide f: X \rightarrow A ja g: A \rightarrow Y korral  f = id_A \circ f ja  g = g \circ id_A. Morfisme idA nimetame samasusmorfismideks ehk identsusmorfismideks ehk ühikmorfismideks.

Nendest aksioomidest järeldub, et iga objekti korral on olemas samasusmorfism.

Kui f \in \operatorname{Mor}(A,B), siis kirjutame A=\operatorname{dom}(f) ja B = \operatorname{cod}(f).

==Väikesed ja lokaalselt väikesed kategooriad == Kui vaadeldud objektide klassid ja morfismide klassid on hulgad, siis nimetame kategooriat väikeseks. On palju tähtsaid kategooriaid, mis ei ole väikesed.

Kui iga kahe objekti A,B korral on klass \operatorname{Mor}(A,B) hulk, siis nimetame kategooriat lokaalselt väikeseks.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kirjandus[muuda | redigeeri lähteteksti]