Kategooria (matemaatika)

Allikas: Vikipeedia

Kategooria mõiste on matemaatikas üldistus samalaadsete matemaatiliste objektide vaheliste "morfismide" (hulkade kujutuste, topoloogiliste ruumide pidevate kujutuste, lineaarruumide lineaarkujutuste, rühmade homomorfismide jne) kompositsioonide algebralistest omadustest timgimustel, et on olemas samasusteisendused ning morfismide kogumid on kompositsiooni suhtes kinnised.

Kategooria mõiste pärineb Samuel Eilenbergilt ja Saunders Mac Lane'ilt (1945).

Definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Formaalselt koosneb iga kategooria kahest klassist:

  • klassist , mille elemente nimetame kategooria objektideks
  • klassist , mille elemente nimetame kategooria morfismideks, kusjuures morfismidel peavad olema järgmised omadused:
    • igale kahe objekti A, B järjestatud paarile on seatud vastavusse A-st B-sse viivate morfismide ehk noolte klass (seda tähistatakse mõnikord ka , või ). Kui , siis objekti A nimetame morfismi f alguseks või määramispiirkonnaks ning objekti B tema lõpuks; mõnikord kirjutame asemel ,
    • iga morfism f kuulub ainult ühte klassi ,
    • klassis on defineeritud osaline korrutamisreegel: morfismide , korrutis on defineeritud siis ja ainult siis, kui B = C, ning sel juhul kuulub ta klassi . Nimetame seda morfismide f ja g kompositsiooniks ning tähistame või gf.
    • morfismide kompositsioon on assotsiatiivne: kui , ja , siis ,
    • igase klassi kuulub niisugune morfism idA, et mis tahes morfismide ja korral ja . Morfisme idA nimetame samasusmorfismideks ehk identsusmorfismideks ehk ühikmorfismideks.

Nendest aksioomidest järeldub, et iga objekti korral on olemas samasusmorfism.

Kui , siis kirjutame ja .

==Väikesed ja lokaalselt väikesed kategooriad == Kui vaadeldud objektide klassid ja morfismide klassid on hulgad, siis nimetame kategooriat väikeseks. On palju tähtsaid kategooriaid, mis ei ole väikesed.

Kui iga kahe objekti korral on klass hulk, siis nimetame kategooriat lokaalselt väikeseks.

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Kirjandus[muuda | muuda lähteteksti]