Kasutaja:KRaes/liivakast

Londoni võrrandid

Londoni võrrandid on esimene kvantitatiivne seletus Meissner-Ochsenfeld efektile, võrrandid konstrueerisid vennad Fritz ja Heinz London aastal 1935. Teooria arenes välja ülivoolava $^{4}He$ uurimisest.

Vennad F. ja H. London lõid ülijuhtivuse makroskoopilise teooria, mis seletas mitmeid ülijuhtivuse omadusi, kuid ei seletanud ülijuhtivuse olemust ja tekkepõhjuseid. Ülijuhtivuse mikroskoopiline teooria ehk BSC-teooria, rajajati Leon Cooper, John Robert Schrieffer ja John Bardeen poolt, kes said selle eest ka Nobeli füüsikapreemia 1972. aastal.

Vennad Londonid

Fritz Wolfgang London (sündinud 7. märts 1900 Breslaus, Saksamaa nüüd Worclaw Poola), füüsik ja kvantkeemia eriala pioneer. Doktorikraadi sai 1921 Müncheni ülikoolis filosoofias, misjärel õppis ka teoreetilist füüsikat erinevates ülikoolides nagu näiteks Müncheni, Zürichi, Berliini ülikoolis. Töötanud koos Arnold Sommerfeldi ja Erwin Schrödingeriga. Tegi mitmeid olulisi avastusi kondensaineteoorias. 1933 oli sunnitud oma juudi päritolu tõttu Saksamaalt lahkuma. Asus tööle Oxfordi Ülikooli Suurbritannias. 1935 lõi koos vennaga esimese fenomeloogilise teooria ülijuhtivuse kohta. 1939 asus elama USA-sse. 1945. aastal sai temast USA kodanik. 1953 pärjati F. London Lorentzi medaliga, järgmisel aastal 1954 teadlane suri südamehaiguse tagajärjel. Tema auks loodi postuumselt Fritz Londoni nimeline preemia, millest on saanud oluliseim auhind madalatemperatuurilises füüsikas.

Heinz London (sündinud 7. november 1907 Bonnis, Saksamaal), füüsik ja madalatemperatuurilise füüsikateooria arendaja. Sai ühe viimase juudina doktorikraadi Breslau ülikoolis 1933 ja põgenes venna Fritz Londoni juurde Oxfordi. Erinevalt vennast Heinz jäigi Suurbritanniasse ja töötas erinevates Suurbritannia ülikoolides. 1970 diagnoositi H. Londonil kopsuvähk, samal aastal ta ka suri.

Esimene Londoni võrrand

Vennad tegid järelduse, et mõningad juhtivad elektronid säilitavad oma omadused, samas kui osa muutuvad ülijuhtivaks. Nad eeldasid, et ülijuhtivad elektronid suudavad liikuda ilma hajumiseta, samas kui omadused säilitanud elektronid jätkavad liikumist endiselt nii nagu oleks neil lõplik takistus. Ülijuhtivad elektronid justkui domineeriksid ja kogutakistus on seetõttu null. Eksperimentaalselt on tõestatud, et tõesti leidub ülijuhis ülijuhtiv osa ja niinimetatud tavaline osa, kuid tavaline osa ei käitu päris tavaliselt nagu vennad eeldasid.

Ülijuhtivate elektronide liikumisvõrrand elektriväljas avaldub kujul:

$n_{s}m{\frac {d{\vec {v}}_{s}}{dt}}=n_{s}e{\vec {E}}$

• $n_{s}$ on ülijuhtiva osa tihedus ;
• $m$ on elektroni mass;
• $e$ on elektroni laeng;
• ${\vec {v}}_{s}$ on ülijuhtivate elektronide keskmine kiirus;
• ${\vec {E}}$ on elektrivälja tugevus; [1]

Võttes arvesse, et ülijuhtiva voolu tihedus on ${\vec {j}}_{s}=n_{s}e{\vec {v}}_{s}$. Saadakse Londoni võrrandi üldtuntud kuju:

${\vec {E}}={\frac {d}{dt}}(\Lambda {\vec {j}}_{s})$, kus $\Lambda ={\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m}{n_{s}e^{2}}}$, on fenomenaalne parameeter.

Eeldati, et ülijuhtiva osa tihedus $n_{s}$ läheneb nullile, kui temperatuur läheneb kriitilisele temperatuurile $T_{c}$ ja on maksimaalne kui temperatuur läheneb temperatuurile 0 K.

Võrrandist on näha, et statsionaarses olekus ${\frac {d{\vec {j}}_{s}}{dt}}=0$ puudub ülijuhi sees elektriväli, mis ei ole aga kooskõlas Ohm'i seadusega. Ka eksperiment on kinnitanud, et ülijuhid ei allugi Ohm'i seadusele.

Teine Londoni võrrand

${\vec {H}}=-c{\vec {\bigtriangledown }}\times \Lambda {\vec {j_{s}}}$

Teine Londoni võrrand on oma olemuselt Maxwelli võrrand ülijuhtivuse kohta. Fenomenoloogiline parameeter on sama esimese võrrandis kasutatuga.

$\Lambda ={\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m}{n_{s}e^{2}}}$

Ülijuhtide puhul mängib rolli ka väline magnetvälja tugevus. Kui Magnetväli ületab teatud kriitilise väärtuse, siis ülijuhtivus kaob. Seega on oluline pidada ülijuhtivuses silmas ka magnetvälja.

Londoni sissetungimissügavus

Faraday induktsiooniseadusest

${\vec {\bigtriangledown }}\times E=-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

Saame

${\frac {\partial }{\partial t}}{\biggl (}{\vec {\bigtriangledown }}\times {\vec {j}}+{\frac {n_{s}e^{2}}{mc}}{\vec {B}}{\biggr )}=0$

Maxwelli võrrandi võib kirjutada ka kui:

${\vec {\bigtriangledown }}\times E=-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

Antud võrrandid kehtivad iga staatilise magnetvälja kohta, Meissner-Ochsenfeld efekt aga näitas, et ülijuhtivas olekus magnetvälja tõrjutakse ja sellest lähtudes vennad Londonid postuleerisid

${\biggl (}{\vec {\bigtriangledown }}\times {\vec {j}}+{\frac {n_{s}e^{2}}{mc}}{\vec {B}}{\biggr )}=0$

siit võrrandid kasutades samasust ${\vec {\bigtriangledown }}\times ({\vec {\bigtriangledown }}\times {\vec {V}})={\vec {\bigtriangledown }}({\vec {\bigtriangledown }}\centerdot {\vec {V}})-{\vec {\bigtriangledown }}^{2}{\vec {V}}$

$\bigtriangledown ^{2}{\vec {B}}={\frac {4\pi n_{s}e^{2}}{mc^{2}}}{\vec {B}}$

$\bigtriangledown ^{2}{\vec {j}}={\frac {4\pi n_{s}e^{2}}{mc^{2}}}{\vec {j}}$

Võrranditest järeldub, et magnetväli ja elektrivool ülijuhis saavad esineda ülijuhis vaid teatud kihis laiusega:

$\lambda _{L}={\biggl (}{\frac {mc^{2}}{4\pi n_{s}e^{2}}}{\biggr )}^{\frac {1}{2}}$

Alternatiivsel kujul:

$\lambda _{L}=41.9{\biggl (}{\frac {r_{s}}{a_{0}}}{\biggr )}^{\frac {3}{4}}{\biggl (}{\frac {n}{n_{s}}}{\biggr )}^{\frac {1}{2}}$Å.

On eksperimentaalselt tõestatud, et valem ei kehti juhul kui vaadeldava ülijuhi enda laius on väiksem kui $\lambda _{L}$.