Ideaalarvud

Ideaalarvud on arvu üldistus, mille võttis algebralises arvuteoorias kasutusele Ernst Eduard Kummer. Sellest mõistest on alguse saanud tänapäevane ideaali mõiste.

Näiteks ringis $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]=\left\{a+b\cdot {\sqrt {-5}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}$ ei kehti algteguriteks lahutamise ühesus:

$6=2\cdot 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\cdot \left(1-{\sqrt {-5}}\right).$

Kummer tegi kindlaks, et algteguriteks lahutamise ühesuse saab mõnikord taastada, kui võtta juurde uusi arve, mida ta nimetas ideaalarvudeks. Kui toodud näites võtta juurde arv $\mathrm {i}$, saadakse lahutused

$2=\left(1+\mathrm {i} \right)(1-\mathrm {i} ),\quad 3={\frac {1+{\sqrt {-5}}}{1+\mathrm {i} }}\cdot {\frac {1-{\sqrt {-5}}}{1-\mathrm {i} }}$

(murdude normidest nähtub, et tegu on täiselementidega) ning

$1\pm {\sqrt {-5}}={\frac {1\pm {\sqrt {-5}}}{1\pm \mathrm {i} }}\cdot (1\pm \mathrm {i} ),$

nii et algteguriteks lahutamise ühesus on taastatud.

Tänapäevasest vaatenurgast vastab ideaalarvu $\mathrm {i}$ sissetoomine üleminekule Hilberti klassikorpuse täiselementide ringile. Algebralise arvukorpuse kõik ideaalid on peaideaalid.

Richard Dedekind selgitas välja, et ilma ideaalarvudeta saab läbi, kui vaadelda nende asemel kõigi nendega jaguvate arvude kogumit. Ülaltoodud näites on arvudel $2$ und $1+{\sqrt {-5}}$ ühine ideaalne algtegur $1+\mathrm {i}$, ja selle arvu kordsed ringis $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ moodustavad lihtsa ideaali

$\left(2,1+{\sqrt {-5}}\right)=\left\{a\cdot 2+b\cdot \left(1+{\sqrt {-5}}\right)\mid a,b\in \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]\right\}.$

Kui on olemas "reaalne" ühistegur, siis koosneb ideaal parajasti selle kordsetest ning on seega peaideaal. Arvukorpuste täiselementide ringides (ja üldisemalt selle seiga põhjal tema järgi nimetatud Dedekindi ringides) saadakse niimoodi iga (nullideaalist) erineva ideaali ühene lahutus lihtsateks ideaalideks.