Forsseerimine (matemaatika)

Allikas: Vikipeedia

Forsseerimine on hulgateoorias meetod, mille abil konstrueeritakse mudeleid, mida rakendatakse peamiselt suhtelistes kooskõlalisustõestustes.

Forsseerimist rakendas esimesena 1963 Paul Cohen, tõestades valikuaksioomi sõltumatuse aksiomaatikast ZF ning kontiinumi hüpoteesi sõltumatuse aksiomaatikatest ZF ja ZFC. Hiljem on Coheni meetodit mitmeti edasi arendatud.

Põhiidee[muuda | redigeeri lähteteksti]

Forsseerimise meetodi põhiidee seisneb selles, et hulgateooria aksiomaatika (näiteks ZFC) antud mudelile (alusmudelile M) lisatakse teatud hulk G nõnda, et tekib jälle selle aksiomaatika mudel (geneeriline laiend M[G]). Konstruktsioon on niisugune, et hulka G saab alusmudelis lähendada; see võimaldab väljendada mudeli M[G] omadusi (nagu näiteks kontiinumi hüpoteesi kehtetust) alusmudelis M defineeritavas keeles ning seejärel tõestada.

Mudel M[G][muuda | redigeeri lähteteksti]

Olgu M Zermelo-Fraenkeli hulgateooria (ZFC) loenduv transitiivne mudel. (Seda eeldust on selgitatud alajaotuses Forsseerimine ja suhtelised kooskõlalisustõestused.)

Tingimushulgad ja geneerilised filtrid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Tingimushulga all mõistetakse mudelil M defineeritud järjestatud kolmikut \langle P,\leq_P,1_P\rangle, kus \leq_P on eeljärjestus hulgal P ning 1_P on suurim element selle eeljärjestuse suhtes. Hulga P elemente nimetatakse tingimusteks. Tingimus p on tugevam kui tingimus q, kui p\leq q. Rakendustes on eeljärjestus \leq_P enamasti antisümmeetriline, nii et tegu on osalise järjestusega. Teoorias ei ole see nõue tarvilik.

Hulka D\subseteq P nimetatakse tihedaks, kui

\forall p\in P\exists q\in D q\leq p,

st kui iga tingimuse korral eksisteerib sellest tugevam tingimus hulgas D. Filtrit G\subseteq P nimetatakse geneeriliseks, kui ta laseb läbi mudeli M iga tiheda alamhulga, st kui D\cap G\neq\emptyset kõigi tihedate hulkade D\in M korral.

Rasiowa-Sikorski lemmast järeldub, et iga p\in P korral eksisteerib geneeriline filter G, mille element p on. Kõigi huvitavate tingimushulkade puhul jääb G väljapoole mudelit M.

Kirjandus[muuda | redigeeri lähteteksti]