Arutelu:Lõikuvad sirged

Allikas: Vikipeedia
Mine navigeerimisribale Mine otsikasti

Puudub lehekülg Lõikumine. Andres 26. november 2008, kell 18:00 (UTC)


Kas siin peaks nüüd olema "üks ja ainult üks ühine punkt"? Adeliine 13. aprill 2015, kell 20:54 (EEST)

Jah, aitäh, nii on siin mõeldud. Andres (arutelu) 13. aprill 2015, kell 20:58 (EEST)

Lõikuvate sirgetega on üks imelik paradoks. Kujutame ette kahte lõpmata pikka sirget..või siis ka lõpliku pikkusega sirget, mis asuvad ühel tasandil. Olgu sirgete pikkus väga suur. Näiteks nähtava universumi läbimõõt. Olgu sirgete vahel mingi nurk..näiteks täisnurk. Neil sirgetel on siis üks ja ainus ühine punkt. Kujutame ette, et üks neist sirgetest on paigal ja teine liigub nii et sirgetevaheline nurk väheneb aeglaselt. Suurte nurkade puhul on ettekujutus kahe sirge ainsast ühisest punktist intuitiivselt arusaadav. Aga mida väiksemaid väärtusi omandab sirgete vaheline nurk seda veidramaks selline ainsus muutub. Siis sirged keelduvad jonnakalt lõikumast rohkemas kui ainsas punktis. Sirgetevahelist nurka saab aga üha ja üha poolitada, poole väiksemaks teha. Ikka jääb vaid 1 ühine lõikepunkt. Ja siis mingil hetkel kui oleme väsinud nurka 0-le lähendamast (infinitesimaalarvud ja vt ka https://www.youtube.com/watch?v=BBp0bEczCNg) otsustame, et nüüd sirged kattuvad. Oletame, et kattuvadki. Siis järsku on 1-st ühisest punktist saanud kõik nähtava universumi pikkuse sirge punktid. See on veider olukord. Ma saan aru, et see ainsa punkti teema tuleb sellest, et sirgel ja punktil pole paksust definitsiooni järgi. Aga see hüpe kahest ainsast võimalikust olukorrast: 1 punkt või kõik punktid tundub paradoksaalne ja ebaloogiline olevat. Aga küllap selline see idealistlik matemaatiline range loogika peabki siis olema? nimelik 2. juuli 2019, kell 16:30

Vt ka Achilleus ja kilpkonn :) Adeliine 2. juuli 2019, kell 17:15 (EEST)
Aitäh vastuse eest Adeliine! :) nali naljaks, aga selle lõpmatusega ranges matemaatikas on segased lood. Kord seletatakse sellega seda, mida pole..näiteks loetakse silinder koonuselõigetes koonuseks, mille tipp on lõpmatuses, samas välistab sirgete lõikumine vahepealsed võimalused. Sirgetel on vaid 1 lõikepunkt või need kattuvad täielikult. Numbrite kontekstis loetakse ju 0,99999999999999999 jne. üheks. Võiks ju mõelda samuti kategooriliselt - kas on või pole. Paralleelsete sirgetega eukleidilises geomeetrias on samuti. Need ei kohtu kunagi, ka lõpmatuses. Siin võib analoogiat näha füüsikalise maailmaga. Energia jäävuse järgi footoni energia ei saa valguse levides kaduda. See kas on või neeldub aatomis, kuhu energia üle kandub. Vahepealset võimalust pole. nimelik 2. juuli 2019, kell 22:50
See paradoksaalsus tuleb ilmselt sellest, et raske on ette kujutada paksuseta joont, siis tegelikult joont, mida pole. Sest niipea kui joon või siis sirge on (osaliselt.. mõtlen siin ka pikkust..sest sirge on definitsiooni järgi ju lõpmatult pikk) nähtav, siis tal on paksus. Iga sirgjoon on ranges mõttes ainult tinglik märgistus, mis eirab sirge definitsiooni (määratlust et sirgel pole paksust). Võib ka mõelda, et joonestatud, nähtava sirgjoone sees peidab ennast tegelik (paksuseta) sirge. See oleks siis nagu nähtava, paksusega mängusirge telg...mis mõlemast otsast lõputusse suundub. Kui meil on 2 sellist mängusirget, mis lõikuvad ja mille vaheline nurk läheneb nullile, siis nende sees olevad teljed liiguvad kattumise poole. Telgede kattumine ei saa olla osaline. Kuigi paksusega sirgete puhul nii tundub. Nähtavate sirgete punktid, mis on lähemal lõikumisele, hakkavad osaliselt kattuma kui kaugemad mängusirge punktid on selgelt veel eraldi. Selline pilt tekib ka kui lõigata pikki telge topeltkoonust, mille tipunurk aeglaselt väheneb. Sellise topeltkoonuse moodustajad ongi vaadeldavad lõikuvad sirged, mis omavad ainsat ühispunkti (millel pole definitsiooni järgi samuti mõõdet või osi või läbimõõtu :). Koonuselõigete puhul on suureks abiks mittekidunud lõigete vaatlemisel Dandelini sfäärid. (siin Dandelini sfääridest küll ellipsi kontekstis https://www.youtube.com/watch?v=pQa_tWZmlGs&t=312s) Kerad, mille võib koonuse sisse kujutada ja mis aitavad osutada lõigete fookustele ja juhtsirgele. Aga mitte sellest ei tahtnud ma kirjutada. Vaid sellest, et selline nö Dandelini kera aitab ka ehk mõista lõikuvate sirgete probleemi. Võib mõelda nii, et kuni nö kahe moodustaja vahel on mingigi raadiusega kera (Dandelini sfäär), on tegemist lõikuvate sirgetega, mille ainus ühine punkt on koonuse tipp, moodustajate lõikumine, kus Dandelini kera raadiuse väärtus on null. Kui aga moodustajate vahel vahe puudub, Dandelini kera läbimõõdu või ka raadiuse väärtus on terve "koonuse" osas moodustajate vahel null, siis moodustajad elik needsamad sirged kattuvad ja kõik sirgete punktid on hetkega ühised. Samuti võib võrdluseks tuua (eukleidilise) sirgete paralleelsuse. Sirged ei saa paralleelsed olla natuke, ühest kohast. Nad kas on paralleelsed täiesti või pole seda ja siis peavad nad kuskil ka lõikuma. nimelik 3. juuli 2019, kell 17:12