Russelli paradoks

Allikas: Vikipeedia

Russelli paradoks on Bertrand Russelli poolt 1901. aastal avastatud paradoks, mis näitab, et Cantori ja Frege naiivne hulgateooria on vastuoluline. Russell pakkus sellest välja ka lihtsama versiooni, mis on tuntud kui Russelli habemeajaja paradoks.

Vaatleme hulka M, mille defineerime kõikide niisuguste hulkade hulgana, mis ei ole iseenda elemendid. Teiste sõnadega: hulk A on hulga M element siis ja ainult siis, kui A ei ole A element.

Cantori süsteemis on M korrektselt defineeritud hulk. Kas M on iseenda element? Kui on, siis definitsiooni kohaselt ta ei ole hulga M element. Teiselt poolt, kui oletada, et M ei sisalda iseennast, siis ta peab jällegi hulga M definitsiooni kohaselt olema hulga M element. Sellepärast viivad väited "M on hulga M element" ja "M ei ole hulga M element" mõlemad vastuoluni.

Frege süsteemis vastab M mõistele ei rakendu iseendale. Ka Frege süsteem viib vastuoluni: nimelt selgub, et on olemas selle mõistega määratletud klass, mis rakendub iseendale parajasti siis, kui ta ei rakendu iseendale.

Russelli paradoks on väga lähedane valetaja paradoksile.