Kasutaja:Johannes M/Lainik

Lainik ehk laineke on lokaliseeritud, laine tüüpi võnkumine. Lainikuid kasutatakse signaalitöötluses signaalide uurimisel. Protsessi, mis hõlmab signaali teisendamist lainikute abil, nimetatakse lainekese teisenduseks (WT-wavelet transform). Matemaatiliselt on tegemist signaali ja vastava lainefunktsiooni konvolutsiooniga, millega saadakse sisendsignaalist vajalik informatsioon signaali kirjeldamiseks.

Ajalugu

Esimest korda mainis lainikuid Alfréd Haar oma 1909 aasta doktoritöös "Ortogonaalsete funktsioonisüsteemide teooria". Tema järgi sai ka nime Haari lainikute perekond. 1970-ndatel, uurides akustilisi signaale, võttis Jean Morlet kasutusele võtted analüütiliste funktsioonide skaleerimiseks ja nihutamiseks, mida oleks võimalik signaalide uurimisel kasutada. Neid funktsioone hakkas ta nimetama "lainikuteks". Seda peetakse ka lainekese analüüsi alguspunktiks. Hiljem töötas ta välja koostöös Alex Grossmaniga lainekeseks teisenduse teoreetilise poole. 1980-ndatel arendasid Stéphane Mallat ja Yves Meyer välja mitmemastaapse lahutuse põhimõtte (MRA-multiresolution analysis), mis on aluseks diskreetsele lainekese teisendusele .

Definitsioon

Lainik on funktsioon $\psi \left(t\right)$, mis rahuldab järgmisi nõudeid :

Mehhiko müts

Meyer

Morlet

1. Lainikul on lõplik energia:

   $E=\int _{-\infty }^{\infty }{|\psi {\left(t\right)|}^{2}dt<}\infty$

   
   
2. Fourier' pöörde ${\hat {\psi }}$ korral, milleks on

   ${\hat {\psi }}\left(f\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{\psi \left(t\right)e^{-i\left(2\pi f\right)t}dt}$,

   kehtib omadus:

   $C_{g}=\int _{0}^{\infty }{{\frac {\left|{\hat {\psi }}\left(f\right)\right|^{2}}{f}}df}<\infty$,

   mis viitab, et lainikul puudud nullsageduslik komponent ${\hat {\psi }}\left(f\right)=0$. See omadus viitab sellele, et lainikul on ribapääs sagedusspekter .

Lainekese analüüs

Mistahes pidevat funktsiooni on võimalik esitada tema baasifunktsioonide lineaarkombinatsioonina. Fourier' pöörde korral on võimalik sisendsignaali esitada siinusfunktsioonide summana. Lainekese teooria alusel saab mistahes signaali esitada lainekeste summana. Need lainekesed tuletatakse kindlast funktsioonist, emalainikust, sellega vajalikul viisil manipuleerides – skaleerides (kokku surudes või venitades) ja nihutades mööda ajatelge. Vajalik signaal väljendub lainekese mastaabimuutuste ja nihete lineaarkombinatsioonina .

Pidev lainekese teisendus

Kui lainefunktsioon $\psi$ rahuldab ülalpool viidatud nõudeid, siis lainekese teisendus reaalse signaali $x(t)$ korral avaldub

$T(a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{x\left(t\right)\psi ^{\ast }\left({\frac {t-b}{a}}\right)dt}$,

kus * tähistab funktsiooni kaaskompleksi. Parameeter $b$ väljendab funktsiooni ajalist nihet (asukohta ajateljel), ning $a$ on skaleerimistegur (lainiku kokku surumine või venitamine).

Sageli defineeritakse funktsioon $\psi _{a,b}(t)$

$\psi _{a,b}\left(t\right)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)$,

mida nimetatakse normeeritud lainekese funktsiooniks . See funktsioon väljendabki lainekese funktsiooni skaleerimist parameetriga $a$ ning nihutamist parameetri $b$ võrra. Kasutades normeeritud lainekese funktsiooni, avaldub teisendus kujul:

$T(a,b)=\int _{-\infty }^{\infty }{x\left(t\right)\psi _{a,b}^{*}\left(t\right)dt}$

Pöördteisendus on defineeritud kujul

$x\left(t\right)={\frac {1}{C_{g}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }{T\left(a,b\right)\psi _{a,b}\left(t\right){\frac {dadb}{a^{2}}}}$,

mida kasutades on võimalik algsignaal tema teisendusest tagasi saada.

Diskreetne lainekese teisendus

Üldiselt on uuritavad signaalid teatud kindla pikkusega ning seetõttu on piisab lõplikust arvust lainekese mastaabimuutustest ja nihetest . Seega asenduvad pidevad integraalid lõpliku arvu diskreetsete lainekese koefitsientide summeerimisega. Diskreetses esituses avaldub lainik kujul :

$\psi _{m,n}\left(t\right)\ ={\frac {1}{\sqrt {a_{0}^{m}}}}\psi \left({\frac {t-nb_{0}a_{0}^{m}}{a_{0}^{m}}}\right)$,

kus arv $m$ iseloomustab lainiku skaleerimist, arv $n$ lainiku nihet. Parameeter $a_{0}$ on kindlaksmääratud skaleerimistegur ja $b_{0}$ on asukoha parameeter. Tavaliselt kasutatakse väärtusi $a_{0}=2$ ja $b_{0}=1$, seega

$\psi _{m,n}\left(t\right)\ ={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\psi \left({\frac {t-n2^{m}}{2^{m}}}\right)$

Diskreetne lainekese teisendus avaldub:

$T_{m,n}=\int _{-\infty }^{\infty }{x\left(t\right)\psi _{m,n}\left(t\right)dt}$

Suurust $T_{m,n}$ nimetatakse lainekese koefitsiendiks.

Pöördteisendus:

$x\left(t\right)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{T_{m,n}\psi _{m,n}\left(t\right)}$

Mastaabifunktsioonid

Igale diskreetsele lainekesele saab vastavusse seada mastaabifunktsiooni, mida nimetatakse ka isalainekeseks

$\phi _{m,n}(t)=2^{-{\frac {m}{2}}}\phi (2^{-m}t-n)$,

Mastaabifunktsioonid on seotud signaali silumisega. Mastaabifunktsiooni konvolutsioon sisendsignaaliga annab lähenduskoefitsiendid teisenduse tasemel m:

$S_{m,n}=\int _{-\infty }^{\infty }{x\left(t\right)\phi _{m,n}\left(t\right)dt}$.

Sisuliselt on tegu madalpääsfiltritega.

Kiire lainekese teisendus

Diskreetse lainekese teisenduse arvutamiseks kasutatakse nn kiire lainekese teisenduse meetodit. Selleks viiakse sisendsignaal läbi filtrisüsteemi, mis koosneb kahest kvadratuurpeegelfiltrist - madalpääsfiltrist g[n] (mastaabifunktsioon) ja kõrgpääsfiltrist h[n] (lainekese funktsioon). Lähenduskoefitsiendid tasemel m konvoleeritakse madalpääsfiltriga ning seejärel muudetakse signaal 2 korda lühemaks ehk valitakse signaali iga teine lugem. See annab uued lähenduskoefitsiendid tasemel m+1. Samuti konvoleeritakse lähenduskoefitsiendid kõrgpääsfiltriga ning peale filtri läbimist, valitakse ka seal signaali iga teine lugem. See annab signaali detailsuse koefitsiendid. Protsessi korratakse üle kõikide mastaapide signaali täieliku teisenduse saamiseks. .

Filtrisüsteem

Võrdlus Fourier' teisendusega

Sageli võrreldaks lainekese teisendust Fourier' teisendusega. Mõlemad operatsioonid on pööratavad operatsioonid, mis tähendab, et signaali on võimalik tema teisendusest tagasi saada. Peamine erinevus kahe teisenduse vahel on see, et lainekese teisendusega saab signaali esitada ajaliselt erinevatel mastaapidel. See omakorda võimaldab signaali sageduskomponente ajas lokaliseerida. Fourier' pööre teisendab signaali sagedusruumi, mis küll kirjeldab signaali kõiki sageduskomponente, kuid konkreetse sageduse esinemise hetke ajas ei ole võimalik määrata .