Eksponentjaotus

Eksponentjaotus on üks pidev tõenäosusjaotus, mida kasutatakse tihti sõltumatute sündmuste vahelise aja modelleerimisel. Kui juhuslik suurus X on eksponentjaotusega parameetriga λ, siis tähistatakse seda eestikeelses kirjanduses sageli $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$.

Definitsioon

Tihedusfunktsioon

Juhuslik suurus X on eksponentjaotusega parameetriga λ, kui tema tihedusfunktsiooniks on

$f(x) = \left\{\begin{matrix} 0 &,\; \mbox{kui } x < 0, \\ \lambda e^{-\lambda x} &,\; \mbox{kui } x \geqslant 0. \end{matrix}\right.$

Mõnikord on tähistatud λ-ga jaotuse argumendi pöördväärtust (nt $X \sim \operatorname{Exp}(\alpha)$, ning üleval toodud tihedusfunktsioonis võetakse $\lambda = {1 \over {\alpha}}$).

Jaotusfunktsioon

Eksponentjaotusega parameetriga λ juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on

$F(x) = \left\{\begin{matrix} 0 &,\; x < 0, \\ 1-e^{-\lambda x}&,\; x \geqslant 0. \end{matrix}\right.$

Omadused

Keskväärtus

Kui $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$, siis tema keskväärtus on

$\operatorname{E}(X) = \int_0^\infty x f(x) \operatorname{d}x = {1 \over \lambda}$.

Dispersioon

Kui $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$, siis tema dispersioon on

$\operatorname{D}(X) = \operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2 = \int_0^\infty x^2 f(x) \operatorname{d}x - {1 \over \lambda^2} = {1 \over \lambda^2}$.

Mediaan

Kui $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$, siis tema mediaan on

$\operatorname{F}^{-1}({1 \over 2}) = {{\operatorname{ln}(2)} \over \lambda}$.

Siin $F^{-1}$ tähistab jaotusfunktsiooni F pöördfunktsiooni.

Kvantiilid

Eksponentjaotuse kvantiilid avalduvad valemiga

$F^{-1}(p) = {{-\operatorname{ln}(1 - p)} \over \lambda}$,

kus $0 \leqslant p < 1$.

Mäluta omadus

Eksponentjaotus on nn mäluta jaotus, st iga $s, t \geqslant 0$ korral kehtib järgneva tingliku tõenäosuse kohta võrdus

$\operatorname{P}(X > s + t\; |\; X > t) = \operatorname{P}(s)$.

See võrdus tähendab, et sündmuse toimumise tõenäosus tulevikus ei sõltu tema mittetoimumisest minevikus. Näiteks kui me teame, et lambipirn on põlenud juba 100 tundi, ning me tahame teada tõenäosust, et ta põleb veel 300 tundi, siis selle tõenäosus on sama, mis tõenäosus, et uus lambipirn põleb 300 tundi.