Eksponentjaotus

Allikas: Vikipeedia

Eksponentjaotus on üks pidev tõenäosusjaotus, mida kasutatakse tihti sõltumatute sündmuste vahelise aja modelleerimisel. Kui juhuslik suurus X on eksponentjaotusega parameetriga λ, siis tähistatakse seda eestikeelses kirjanduses sageli X \sim \operatorname{Exp}(\lambda).

Definitsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Tihedusfunktsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Juhuslik suurus X on eksponentjaotusega parameetriga λ, kui tema tihedusfunktsiooniks on

f(x) = \left\{\begin{matrix}
0 &,\; \mbox{kui } x < 0, \\
\lambda e^{-\lambda x} &,\; \mbox{kui } x \geqslant 0.
\end{matrix}\right.

Mõnikord on tähistatud λ-ga jaotuse argumendi pöördväärtust (nt X \sim \operatorname{Exp}(\alpha), ning üleval toodud tihedusfunktsioonis võetakse \lambda = {1 \over {\alpha}}).

Jaotusfunktsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Eksponentjaotusega parameetriga λ juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on


F(x) = \left\{\begin{matrix}
0 &,\; x < 0, \\
1-e^{-\lambda x}&,\; x \geqslant 0.
\end{matrix}\right.

Omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Keskväärtus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kui X \sim \operatorname{Exp}(\lambda), siis tema keskväärtus on

\operatorname{E}(X) = \int_0^\infty x f(x) \operatorname{d}x = {1 \over \lambda}.

Dispersioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kui X \sim \operatorname{Exp}(\lambda), siis tema dispersioon on

\operatorname{D}(X) = \operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2 = \int_0^\infty x^2 f(x) \operatorname{d}x - {1 \over \lambda^2} = {1 \over \lambda^2}.

Mediaan[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kui X \sim \operatorname{Exp}(\lambda), siis tema mediaan on

\operatorname{F}^{-1}({1 \over 2}) = {{\operatorname{ln}(2)} \over \lambda}.

Siin F^{-1} tähistab jaotusfunktsiooni F pöördfunktsiooni.

Kvantiilid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Eksponentjaotuse kvantiilid avalduvad valemiga

F^{-1}(p) = {{-\operatorname{ln}(1 - p)} \over \lambda} ,

kus 0 \leqslant p < 1.

Mäluta omadus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Eksponentjaotus on nn mäluta jaotus, st iga s, t \geqslant 0 korral kehtib järgneva tingliku tõenäosuse kohta võrdus

\operatorname{P}(X > s + t\; |\; X > t) = \operatorname{P}(s).

See võrdus tähendab, et sündmuse toimumise tõenäosus tulevikus ei sõltu tema mittetoimumisest minevikus. Näiteks kui me teame, et lambipirn on põlenud juba 100 tundi, ning me tahame teada tõenäosust, et ta põleb veel 300 tundi, siis selle tõenäosus on sama, mis tõenäosus, et uus lambipirn põleb 300 tundi.