Kehtestatav valem

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Lausearvutuse valemit nimetatakse kehtestatavaks, kui ta on vähemalt ühel väärtustusel tõene[1]. Sellisteks valemiteks on näiteks [2], [1] või . On selge, et iga samaselt tõene valem on kehtestatav, kuid vastupidine järeldumine alati ei kehti. Üks näide kehtestavast lausearvutuse valemist on valem, mis ei ole samaselt tõene ega samaselt väär. Kontrollimaks, kas uuritav valem on kehtestav on mitmeid võimalusi– näiteks tõeväärtustabel või tõesuspuu.

Definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Lausearvutuse valemit nimetatakse kehtestatavaks, kui ta on vähemalt ühel väärtustusel tõene[1].

Sõna "kehtestatav valem" kirjutamisel üks tüüpilisemaid vigu on kirjutada "kehtestav valem", kuid sõna õige kirjapilt on neist vaid esimene[3].

Seosed[muuda | muuda lähteteksti]

  • Iga samaselt tõene lausearvutuse valem on kehtestatav.
  • Kui lausearvutuse valem ei ole samaselt tõene ega samaselt väär, siis on tegu kehtestatava valemiga[2].
  • Lausearvutuse valem on kehtestatav parajasti siis, kui tal leidub täielik disjunktiivne normaalkuju[2].
  • Kui lausearvutuse valem ei ole kehtestatav, siis ta on samaselt väär– kui lausearvutuse valem ei ole kehtestatav, siis ta ei ole tõene mitte ühelgil väärtustusel ehk valem on väär igal väärtutusel.

Kontrollimine tõeväärtustabeliga[muuda | muuda lähteteksti]

Kontrollimaks kas lausearvutuse valem on kehtestatav koostame tõeväärtustabeli. Kirjutame esmalt päisesse lausemuutujad ja ning seejärel lausearvutuse tehted prioriteedi järjekorras (tehete prioriteet kõrgeimast madalaimani on: ). Kahe muutuja korral on neli võimalikku tõeväärtuste kombinatsiooni, kolme muutuja puhul kaheksa. Need sisestamegi muutujate ja tõeväärtuste veergudesse ning seejärel täidame tabeli ülejäänud veerud, arvestades lausearvutustehteid.

Näeme, et ainult tabeli esimeses reas, kuuendas veerus on valemil tõeväärtus 0 ehk väär. Antud veeru ülejäänud kolmes reas on väärtus 1 ehk tõene. Saime, et valem on vähemalt ühel väärtustusel tõene ehk tegu on kehtestatava valemiga.

Kontrollimine tõesuspuuga[muuda | muuda lähteteksti]

Kehtestatavuse kontrollimiseks kirjutame tõesuspuu algusse ( tähistab uuritavat lausearvutuse valemit). Kui leidub haru, kus vastuolu ei teki, siis valem on kehtestatav.

Koostame tõesuspuu tingimusest lähtudes. Tõesuspuu algusesse paneme kirja rea ja hakkame uurima, millistel juhtudel selline asi on võimalik. Esmalt leiame valemis üles peatehte ja osavalemid, mida see peatehe seob. Antud juhul on peatehteks disjunktsioon () ning osateheteks eitused () ning implikatsioon (). Leiame toodud osavalemite tõeväärtused, mille korral on tõene. Lausearvutuse osatehete analüüsimisel kasutame elementaarsamme. Kui selliseid tõeväärtuste komplekte on üks, siis kirjutame need üksteise alla. Kui neid on mitu, siis tekib meil puule kaks allapoole hargnevat haru. Edasi jätkame harude analüüsimist sama skeemi alusel, kuni jõuame välja lausemuutujateni ja . Kui puu mingis harus tekib vastuolu (s.t. selles harus esineb mingi valem tõese ja väärana), siis ütleme, et see haru on vastuoluline ehk suletud ja kirjutame selle alla märgi ×. Vastasel korral ütleme, et haru on avatud[2].


Antud tõeväärtuspuus on kõik tehteid sisaldavad osavalemid elementaarsamme kasutades läbi vaadatud ja mitte kummaski harus me ei jõudnud vastuoluni ehk mõlemad harud on avatud. Kuna leidub haru, milles vastuolu ei teki, siis valem on kehtestatav.

Teoreem kehtestatava valemi eitusest[muuda | muuda lähteteksti]

Teoreem 1. Valem on kehtestatav parajasti siis, kui tema eitus ei ole samaselt tõene[1].

Tõestus. Kui on kehtestatav, siis väärtustusel, kus on tõene, on valem väär ja ei saa seetõttu olla samaselt tõene. Vastupidiselt, kui ei ole samaselt tõene, siis leidub väärtustus, kus on väär ja järelikult tõene[1].

Näide. Jaotises "kontrollimine tõeväärtustabeliga" näitasime, et valem on kehtestatav. Kontrollime nüüd tõeväärtustustabeliga väidet, kas selle lause eitus on samaselt tõene.

Valem oleks samaselt tõene kui tõeväärtustabelis oleks seitsmenda veeru kõigis ridades tõeväärtus 1. See nii ei ole ning oleme saanud, et valem ei ole samaselt tõene, mis on kooskõlas teoreemiga 1.

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Reimo Palm, Rein Prank (2014). Sissejuhatus matemaatilisse loogikasse. Tartu: Tartu Ülikooli Kirjastus. Lk 14. 
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 Tartu Ülikooli kursuse "Diskreetse matemaatika I" loengukonspekt, lektor Valdis Laan.
  3. Reimo Palm. "Tüüpilisi kirjavigu". Kasutatud 07.05.2019.