Kasutaja:Sidrun2/Imaginaararv
Imaginaararv on kompleksarv, mida saab esitada reaalarvu ja imaginaarühiku i korrutisena, kus i on defineeritud omaduse kaudu, mille järgi i² = −1. [1] Imaginaararvu bi ruut on −b². Näiteks, 5i on imaginaararv, mille ruut on -25. Arv 0 loetakse nii reaalarvuks kui ka imaginaararvuks. [2] 17. sajandil oli imaginaararvu mõiste kasutusel halvustavas tähenduses, viidates väljamõeldisele, millel pole kasulikku väärtust. Leonhard Euleri ja Carl Friedrich Gaussi tööde tulemusena sai mõiste aga populaarsemaks. Imaginaararvu bi ja reaalarvu a liitmise tulemuseks on kompleksarv kujul a + bi, kus reaalarvud a ja b on vastavalt reaalosa ja imaginaarosa. [3][4] On autoreid, kes kasutavad terminit puhtimaginaararv, viitamaks imaginaaravule antud artikli tähenduses, ja terminit imaginaararv viitamaks kompleksarvu imaginaarosale (mis ei võrdu nulliga).
Ajalugu[muuda | muuda lähteteksti]
Kreeka matemaatik Heron Alexandriast oli esimene, kes oma töödes imaginaararve mainis[5] [6], kuid reeglid kompleksarvude korrutamiseks määras esimesena Rafael Bombelli 1572. aastal. Mõiste oli ka varem teadustekstides esinenud, näiteks Gerolamo Cardano töödes. Sel ajal ei olnud ei imaginaararvudest ega negatiivsetest arvudest selget arusaama ning neid ei peetud oluliseks, nagu kunagi ka arvu 0. Paljud matemaatikud olid imaginaararvude kasutamise osas skeptilised, seal hulgas ka René Descartes, kes kirjutas neist oma teoses La Géométrie, kus termin imaginaarne oli mõeldud halvustavas tähenduses.[7] [8] Imaginaararvude kasutamine leidis laiema heakskiidu alles 18.sajandil Leonhard Euleri ja Carl Friedrich Gaussi tööde tulemusel. Kompleksarvude geomeetrilist tähtsust kirjeldas esimena Caspar Wessel (1745–1818). [9] Aastal 1843 laiendas William Rowan Hamilton ideed imaginaararvude teljest ning pakkus tasandi asemel välja neljadimensioonilise ruumi, kus kolm dimensiooni on analoogsed imaginaararvudele komplekstasandil.
Geomeetriline tõlgendus[muuda | muuda lähteteksti]
Geomeetriliselt esitatakse imaginaararve komplekstasandi vertikaalteljel, risti horisontaalse reaalarvude teljega. Üks viis imaginaararvudest mõelda on kujutleda standardset arvurida, mis paremale suunas suureneb positiivselt, vasakule suunas suureneb negatiivselt. X-telje punktist 0 saab tõmmata y-telje „positiivses“ suunas ülespoole. „Positiivsed“ imaginaararvud sel juhul suurenevad ülespoole ja „negatiivsed“ imaginaararvud suurenevad allapoole. Sellist vertikaaltelge nimetatakse tihti „imaginaarteljeks“ ja märgitakse iℝ või ℑ.
Kompleksarvuga korrutamine[muuda | muuda lähteteksti]
Ülalkirjeldatud geomeetrilise esituse puhul vastab korrutamine arvuga -1 algse punkti suhtes 180-kraadise pöörde tegemisega. Korrutamine arvuga i vastab 90-kraadisele pöördele positiivses suunas (s.t. vastupäeva). Võrrand i² = −1 tähendab, et rakendatakse kaks korda 90-kraadist pööramist algpunkti suhtes, mis annavad kokku ühe 180-kraadise pöörde. Ka 90-kraadise pöörde puhul „negatiivses“ suunas (s.t. päripäeva) kehtib sama tõlgendus. See kajastab tõsiasja, et -i on samuti võrrandi x² = −1 lahendiks. Üldjoontes võib kompleksarvuga korrutamist vaadata kahe-etapilisena: esiteks pööratakse ümber algse punkti kompleksarvu argumendi võrra, teiseks muudetakse punkti kaugust.
Viited[muuda | muuda lähteteksti]
- ↑ Uno Ingard, K. (1988). "Chapter 2". Fundamentals of waves & oscillations. Cambridge University Press. p. 38. ISBN 0-521-33957-X.
- ↑ Sinha, K.C. A Text Book of Mathematics XI. Rastogi Publications. p. 11.2. ISBN 8171339123.
- ↑ Sinha, K.C. A Text Book of Mathematics XI. Rastogi Publications. p. 11.2. ISBN 8171339123.
- ↑ Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). College Algebra: Enhanced Edition (6th ed.). Cengage Learning. p. 66. ISBN 1-4390-4379-5.
- ↑ C.L. Johnston, J. Lazaris, Plane Trigonometry: A New Approach, Prentice Hall, 1991, p. 247.
- ↑ Hargittai, István (1992). Fivefold symmetry (2nd ed.). World Scientific. p. 153. ISBN 981-02-0600-3.
- ↑ Descartes, René, Discourse de la Méthode … (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380. From page 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x3 – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." (Moreover, the true roots as well as the false [roots] are not always real; but sometimes only imaginary [quantities]; that is to say, one can always imagine as many of them in each equation as I said; but there is sometimes no quantity that corresponds to what one imagines, just as although one can imagine three of them in this [equation], x3 – 6xx + 13x – 10 = 0, only one of them however is real, which is 2, and regarding the other two, although one increase, or decrease, or multiply them in the manner that I just explained, one would not be able to make them other than imaginary [quantities].)
- ↑ Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8, discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.
- ↑ Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). "Chapter 10". A history of non-euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space. Springer. p. 382. ISBN 0-387-96458-4.