Arutelu:Algebraline struktuur

Allikas: Vikipeedia
Mine navigeerimisribale Mine otsikasti

Aga mille poolest erinevad algebraline struktuur ja universaalalgebra? Ja miks peavad tehted erineva aarsusega olema? Andres 9. veebruar 2009, kell 16:08 (UTC)

Universaalalgebra tähistab teatud algebraliste struktuuride klassi, mis on defineeritavad samasuste abil. Näiteks korpused ei moodusta universaalalgebrat, kuigi nad moodustavad algebralise struktuuri. Universaalalgebras pole samuti oluline hulk, millel see struktuur defineeritud on.
Ei, nii see ei ole. Universaalalgebra ongi algebraline struktuur selle artikli mõttes (tõsi pole küll see, et tehted peavad erineva aarsusega olema), ainult definitsioon ei ole siin täpne.
Sama signatuuriga universaalalgebrate klassi, mis on määratud samasustega, nimetatakse muutkonnaks (inglise keeles variety). Korpuseid saab vaadelda universaalalgebrate klassina, kuid seda klassi ei saaa defineerida samasuste abil, mistõttu ta ei moodusta muutkonda.
Kas siis algebraliste struktuuride puhul on hulk oluline.
Algebralisteks struktuurideks on nimetatud ka mudeleid (Maltsev).
Ma ei väida, et algebralise struktuuri mõiste ei võiks olla universaalalgebra mõistest erinev, kuid artiklist see ei ilmne. Andres 9. veebruar 2009, kell 18:10 (UTC)
Tõesti, universaalalgebrade definitsioonid on väga sarnased ja reaalarvud ilmselt sellele definitsioonile ei vasta. Kaasik annab: "Algebraline struktuur" e "algebraline süsteem" on "universaalalgebra", milles on defineeritud vähemalt üks relatsioon. --Hardi 9. veebruar 2009, kell 20:01 (UTC)
Mis tähendab "reaalarvud ei vasta"? Reaalarvudel võib defineerida või mitte defineerida kui tahes palju tehteid või seoseid.
Kaasik peab silmas sellist mudelit, kus on nii tehted kui ka seosed. See on "algebralise struktuuri" teine tähendus, mis siinsest erineb ning minu meelest erineb ka Maltsevi omast. Andres 9. veebruar 2009, kell 20:13 (UTC)
See definitsioon ei vasta ju sellele tähendusele, milles siia tulevatel linkide juures seda väljendit mõistetud on. Sellel väljendil on veel vähemalt kolm tähendust: mudel, universaalalgebra ja algebraline struktuur Bourbaki mõttes (Bourbakil on järjestus-, topoloogilised ja algebralised struktuurid). Andres 9. veebruar 2009, kell 20:16 (UTC)
Ma rääkisin Maltsevist, aga kas tal mitte ei olnud hoopis algebraline süsteem?
Ja see väljend võib veel tähendada algebralist võret, sest vanasti nimetati ka võresid (inglise lattice) struktuurideks. Andres 9. veebruar 2009, kell 20:19 (UTC)

Antud definitsiooni järgi sisaldadb algebraline struktuur nii tehteid kui seoseid. Universaalalgebra sisaldab ainult tehteid. Võre e struktuur sisaldab (järjestus)seost. --Hardi 10. veebruar 2009, kell 06:35 (UTC)

Jah. Aga probleem on selles, et neis artiklites, kus algebralist struktuuri mainitakse ja kust siia viidatakse, mõistetakse seda teistmoodi, sest seal mingeid seoseid ei ole. Peab arvestama, et seda sõna kasutatakse erinevalt, aga artiklid tuleb teha mõistete, mitte sõnade järgi.
Saksa viki artiklis de:Algebraische Struktur defineeritakse algebraline struktuur nagu universaalalgebra. Samas nimetatakse üldalgebraks universaalalgebrate teooriat ja abstraktseks algebraks algebraks, mis abstraheerub nende elementide loomusest, millega tehteid tehakse.
Inglise viki artiklid en:Algebraic structure mõeldakse algebralise struktuuri all mingi signatuuriga universaalalgebrate klassi, mis on määratud mingite aksioomidega, nii et näiteks rühm ja korpus on algebralised struktuurid.
Vene viki artikkel ru:Алгебраическая система nimetab algebraliseks süsteemiks ehk algebraliseks struktuuriks hulka, millel on antud tehted ja seosed ning mis rahuldab mingeid aksioome (sõnastus pole päris korrektne, sest ei mõelda üksikuid hulki). Aga näiteid on palju selliseid, kus on küll tehted, aga seoseid ei ole, nii et seosed on nähtavasti fakultatiivsed. Aga tundub, et see esitus on liiga segane. Algebraline süsteem on defineeritud ka matemaatikaentsüklopeedias, seal aga on just üksik hulk algebraline süsteem. Ta on defineeritud põhimõtteliselt samamoodi nagu Kaasikul, aga sealt on arusaadav, et tehete hulk ja seoste hulk võivad ka tühjad olla. Nähtavasti on ka Kaasikul nii mõeldud, ja seda tuleks sõnaselgelt mainida. Sellisel juhul muidugi "algebraline struktuur" sobib linkidega kokku, aga parem oleks siis juba öelda "universaalalgebra".
Ma ise mõtlesin, et võib-olla mõistetakse algebralist struktuuri nii, et näiteks rühm on üks algebraline struktuur, mida võib realiseerida erinevate universaalagebratena (teheteks võivad olla korrutamine, pöördelemendi võtmine ja ühikelemendi võtmine, aga ka näiteks korrutamine, vasakpoolne jagamine ja parempoolne jagamine). Andres 10. veebruar 2009, kell 08:29 (UTC)
Kaasik ütleb, et universaalalebras on vähemalt üks algebraline tehe, algebralises struktuuris on lisaks vähemalt üks seos. Selle definitsiooni järgi piidrub universaalalgebra kui matemaatika haru vaid muutkondade uurimisega. Kilp, leidsin veel ühe definitsiooni, nõuab, et algebralises struktuuris oleks vähemalt üks tehe ja seoste kohta pole midagi öeldud. Kilbi definitsioon on ehk tavakõnega kõige paremini ühilduv: eeldaatakse, et leidub vähemalt üks tehe, ja kui vaja, siis ka mõni seos.
Pakun, et defineerime algebralise srtuktuuri, kui hulga, millel on defineeritud vähemalt üks tehe (algebraline stuktuur = hulk + tehe). Algebralisel struktuuril võib olla defineeritud ka mõni seos, kuid ei pruugi. Sellisel juhul toimivad ka lingid. --Hardi 10. veebruar 2009, kell 09:02 (UTC)
Me võime seda praegu teha küll. Lõppkokkuvõttes aga peame kajastama ka selle väljendi teisi tähendusi.
Ega Sa ei aja segi seoseid ja samasusi? Andres 10. veebruar 2009, kell 09:54 (UTC)
Ei. --Hardi 10. veebruar 2009, kell 09:57 (UTC)