Ühisteguriteta arvud

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Ühisteguriteta arvud on täisarvud ja , mille ainus ühistegur on arv 1. Sellest järeldub, et ükskõik milline algarv, mis jagub esimene täisarvu, ei jaga teise täisarvu.

Täisarvud ja on ühisteguriteta arvud kui nende suurim ühistegur (GCD) on .[1]

Lugeja ja nimetaja taandatud murruosas on ühisteguriteta arvud. Näiteks on ühisteguriteta arvud, sest mõlemad arvud jaguvad -ga. ei ole ühisteguriteta arvud, sest neid saab jagada -ga. on ühisteguriteta arvud, sest ei leidu ühistegurit, mis ei ole 1 ja mis jagab kõik kolm numbrit.

Ühisteguriteta arvude ja standardne esitus on ja . GCD leidmiseks saab kasutada Eukleidese algoritmi.

Kui ja on ühisteguriteta arvud ja , siis nende notatisoon on .

Ühisteguriteta arvud hulkadel[muuda | muuda lähteteksti]

Hulk , kus on täisarvud, saab olla ühisteguriteta hulk või kindlalt ühisteguriteta, kui hulga elementide suurim ühistegur on 1. Näiteks hulk, mille elemendid on on ühisteguriteta arvud, sest ei leidu ühistegurit, mis ei ole ja mis jagab kõik numbrid ja sellest järeldub, et hulk on kindlalt ühisteguriteta.

Kui täisarvude hulgas on kaks suvalist täisarvu ühisteguriteta arvud, siis need arvud on paarikaupa ühisteguriteta arvud ja hulk on paarikaupa ühisteguriteta hulk. Hulgas leidub kaks arvu, kus iga arv on ühisteguriteta arv , aga kõik hulga elemendid pole paarikaupa ühisteguriteta arvud, sest ei ole ühisteguriteta arv. Iga paarikaupa ühisteguriteta hulk, mis on lõplik, on kindlalt ühisteguriteta hulk, aga kindlalt ühisteguriteta hulk ei ole paarikaupa ühisteguriteta hulk.

Lõpmatu hulga elemendid on ühisteguriteta arvud, kui kõik hulga elemendid on .[2]

Paarikaupa ühisteguriteta arvud saavad olla lõpmatu hulgas. Märkimisväärsed näited on hulk Sylvester'i jadas, kus kõik elemendid on Fermat' arvud ja hulk, kus kõik elemendid on Mersenne'i arvud.

Omadused[muuda | muuda lähteteksti]

Kui ja on ühisteguriteta arvud, siis järgmised tingimused on samaväärsed:

  • Ei leidu algarvu, mis jagub ja .
  • Leiduvad täisarvud ja nii, et (Bézout'i identiteet).
  • Arvude ja vähim ühiskordne on .[3]
  • Kui on jagaja ning ja on ühisteguriteta arvud, siis on jagaja.

Esimesest punktist järeldub, et ja on ühisteguriteta arvud.

Pilt 1. 4 ja 9 on ühisteguriteta arvud. Seetõttu diagonaal ei sisalda tippe täisarvu koordinaatidega

Täisarvud ja on ühisteguriteta arvud siis ja ainult siis, kui diagonaal punktist punkti Descarter’i koordinaatsüsteemis ei sisalda tippe täisarvu koordinaatidega (vt Pilt 1).

Kaks naturaalarvu ja on ühisteguriteta arvud siis ja ainult siis, kui numbrid ja on ühisteguriteta arvud.

Ühisteguriteta arvu tõenäosus[muuda | muuda lähteteksti]

Oletame, et on täisarvud ja , ja tahame leida tõenäosus, et mõlemad arvud on ühistegurite arvud.

Oletame, et on tõenäosus sellest, et kaks juhuslikult valitud täisarvud on ühisteguriteta arvud. Oletame, et oli võetud juhuslikult valitud täisarv . Tõenäosus sellest, et jagub on . Tõenäosus sellest, et jagub on sama. Sellest järeldub, et tõenäosus sellest, et jagub ja on . Tõenäosus sellest, et on , aga ja on samaväärsed. Kui oletada, et on sündmuste sõltumatus, siis tõenäosus, et on . Sest sündmused on üksteist välistavad ja tõenäosus sellest, et on on järeldub järgmisele:

, mis tähendab, et .[4]

Vastastikuste algarvude paaride genereerimine[muuda | muuda lähteteksti]

Kõik positiivsete vastastikuste algarvude paarid , kus , saab organiseerida kahe tähelised puudega, kus puul iga tipu lehtede arv on väiksem kui . Üks puu algus on punktis (kõik paaris-paaritu ja paaritu-paaris paarid)[5] ja teise puu alguspunkt on (kõik paaritu-paaritu paarid)[6]. Iga veeru lehed genereeritakse nii:

  • Serv 1:
  • Serv 2:
  • Serv 3:

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Hardy, G.H. , Wright, E.M. (2008). An Introduction to the Theory Of Numbers. Lk 64. 
  2. Vineet Kumar. "Prime number generation and factor elimination".
  3. Oystein O. (1948). Number Theory & its History McGraw-Hill. Lk 47. 
  4. A. D. Abrams, M. J. Paris (1992). The Probability that (a,b)=1. College Mathematics Journal. Lk 47. 
  5. Saunders, Robert & Randall, Trevol (July 1994). The family tree of the Pythagorean triplets revisited. Mathematical Gazette. Lk 190–193. 
  6. Mitchell, Douglas W. (July 2001). An alternative characterisation of all primitive Pythagorean triples. Mathematical Gazette. Lk 273-275.