Lihtne teist järku diferentsiaalvõrrand

Lihtsaks teist järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandit, millele saab anda kuju y''=f(x) (loetakse "igrek teine tuletis võrdub funktsioon iksist").

Teist järku tuletise avaldamine diferentsiaali kaudu

Et diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks on vaja võtta võrrandi mõlemast poolest integraal peab tuletised kuidagi avaldama diferentsiaalide kaudu.

Funktsiooni y=f(x) diferentsiaal on dy=y'dx, mis kujutab endast argumendi x funktsiooni, seepärast võime leida ka dy diferentsiaali, mida nimetatakse teist järku diferentsiaaliks. sel puhul kirjutatakse d(dy) ehk lühidalt d²y ja loetakse "de kaks igrek".

Avaldame funktsiooni teist järku diferentsiaali funktsiooni tuletise kaudu. Selleks diferentseerime x järgi võrdust dy=y'dx, kusjuures dx loeme konstandiks, kuna dx ei sõltu x-ist:

d²=d(y'dx)=d(y')dx, kuid vastavalt diferentsiaali mõistele saame d(y')=(y')'dx=ydx. Seepärast $d^{2}y=y''dx\cdot dx=y''dx^{2}{\frac {}{}}$, kus $dx^{2}{\frac {}{}}$ tähendab diferentsiaali dx ruutu (loetakse "de iks ruut"). jagades saadud valemit astmega $dx^{2}{\frac {}{}}$, leiame $y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$. Tähendab siis, funktsiooni y=f(x) teist järku tuletis avaldub selle funktsiooni teist järku diferentsiaali ja argumendi diferentsiaali ruudu jagatisena.

Seega saame võrrandi y=f(x) esitada kujul: ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f(x)$. Kui selles võrrandis asendada ${\frac {dy}{dx}}=p$, siis teisendub võrrand muutuja p suhtes esimest järku diferentsiaalvõrrandiks.

Näited

Näide 1

Lahendada võrrand ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=4x+3$

Lahendus: Tähistame ${\frac {dy}{dx}}=p$, siis ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {dp}{dx}}$. Antud võrrandi võime kirjutada järgmiselt: ${\frac {dp}{dx}}=4x+3\ /\cdot dx\Rightarrow dp=(4x+3)dx$. Järgnevalt integreerime vasakut poolt muutuja p, paremat poolt muutuja x järgi ehk võtame võrrandi mõlemast poolest integraali.

$\int dp=\int (4x+3)dx\Rightarrow p=2x^{2}+3x+C_{1}$, kuid kuna $p={\frac {dy}{dx}}$ siis võime kirjutada ${\frac {dy}{dx}}=2x^{2}+3x+C_{1}$. Saime eralduvate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandi. Järgnevalt eraldame muutujad korrutades võrrandi mõlemat poolt läbi dx-iga.

${\frac {dy}{dx}}\ /\cdot dx=2x^{2}+3x+C_{1}\ /\cdot dx\Rightarrow dy=(2x^{2}+3x+C_{1})dx$. Integreerides veelkord saame:

$y=\int (2x^{2}+3x+C_{1})dx={\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {3}{2}}x^{2}+C_{1}x+C_{2}$. See on antud võrrandi üldlahend. Et leida erilahendit peame teadma vähemalt kahte punkti mida see funktsiooni graafik läbib.

Vastus: Võrrandi üldlahend on $y={\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {3}{2}}x^{2}+C_{1}x+C_{2}$

Näide 2

Lahendada eelnev diferentsiaalvõrrand ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=4x+3$ eeldades, et funktsiooni graafik läbib punkte (0;6) ja (1; 1/6).

Lahendus: Kõigepealt on vaja leida võrrandi üldlahend. Üldlahendi leidmist siinkohal kordama ei hakka kuna see on esitatud eelmises näites.

Lahendamiseks asendame vastavad x ja y väärtused üldlahendisse, saame C₁ ja C₂ määramiseks järgmise võrrandisüsteemi:

$\left\{{\begin{matrix}6={\frac {2}{3}}\cdot 0+{\frac {3}{2}}\cdot 0+C_{1}+C_{2}\\{\frac {1}{6}}={\frac {2}{3}}\cdot 1+{\frac {3}{2}}\cdot 1+C_{1}\cdot 1+C_{2}\end{matrix}}\right.$. Lahendades antud lineaarvõrrandisüsteemi saame lahenditeks $C_{1}=-8{\frac {}{}}$ ja $C_{2}=6{\frac {}{}}$.

Antud tingimustele vastav erilahend on seega $y={\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {3}{2}}x^{2}-8x+6$

Kontroll: Lahendi õigsuse kontrollimiseks leiame selle funktsiooni teise tuletise:

${\frac {dy}{dx}}=({\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {3}{2}}x^{2}-8x+6)'=2x^{2}+3x-8$, järgnevalt võtame tuletise teistkordselt.

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}=(2x^{2}+3x-8)'=4x+3$, kuna saime lähtevõrrandi võime arvata, et ülesanne on õigesti lahendatud.

Vastus: $y={\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {3}{2}}x^{2}-8x+6$