Kaugus

Allikas: Vikipeedia

Kauguse mõiste on kasutusel tavakeeles ning peamiselt loodusteadustes (füüsikas ja geograafias) ning matemaatikas. Kauguse all mõistetakse tavakeeles ja loodusteadustes peamiselt objektide ruumilise eraldatuse määra ehk vahemaad, mõnikord ka muud laadi eraldatuse määra.

Loodusteadustes on kaugus mittenegatiivne skalaarne suurus, mida mõõdetakse pikkusühikutes.

Matemaatika võimaldab (füüsikalise) kauguse mõistet üldistada abstraktsetele objektidele. Sellisteks objektideks võivad olla näiteks punktid tasandil. Punktidevahelise kauguse mõistet saab kasutada näiteks ka punktihulkade vahelise kauguse definineerimiseks. Samuti räägitakse näiteks maatriksite vahelisest kaugusest. Kõige üldisemal kujul on kaugus matemaatikas mittenegatiivne reaalarv, mis leitakse teatud komplekti tingimusi (meetrika aksioome) täitva kujutuse (meetrika) abil.

Matemaatika[muuda | redigeeri lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Meetriline ruum

Matemaatikas saab kaugusest rääkida abstraktsete objektide vahel. Kaugus oma kõige üldisemal kujul on defineeritud meetrilistes ruumides. Meetriline ruum on hulk X millel on defineeritud kujutus

\rho: X \times X \to \mathbb{R},

mis seab hulga X igale elementide paarile vastavusse reaalarvu \rho(x,y) nii, et oleks täidetud järgmised meetrika aksioomideks nimetatavad tingimused:

  1. \rho(x,y)=0 \Leftrightarrow x = y (samasuse aksioom ehk identsuse aksioom)
  2. \rho(x,y) = \rho(y,x) \, (sümmeetria aksioom)
  3. \rho(x,y)\le \rho(x,z)+ \rho(z,y) (kolmnurga võrratus).

Kujutust \rho nimetatakse meetrikaks ja arvu \rho(x, y) nimetatakse x ja y kauguseks. Tihti nimetatakse kauguseks ka meetrikat ennast.

Kaugus eukleidilistes ruumides[muuda | redigeeri lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Eukleidiline ruum

Kolmemõõtmeline eukleidiline ruum on ruum, mida seostatakse enamasti füüsikalise ruumiga ning see kattub intuitiivselt ruumi mõistega selle igapäevatähenduses. Üldiselt saab rääkida suvalise mõõtmega eukleidilistest ruumidest, kusjuures n-mõõtmelises eukleidilises ruumis on kaugus defineeritud kui

d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.,

kus

\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}

tähistab vektori pikkust ja x_1,...,x_n tähistavad vektori

\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n),

koordinaate.

Kaugus eukleidilises ruumis täidab meetrika aksioome ning seetõttu on kõik eukleidilised ruumid ka meetrilised ruumid. Kuna vektori pikkus täidab ühtlasi normi aksioome, on eukleidilised ruumid ka normeeritud ruumid.

Füüsika[muuda | redigeeri lähteteksti]

Geograafia[muuda | redigeeri lähteteksti]

Geograafias mõõdetakse kaugust ehk vahemaad nii looduses (meetrites või kilomeetrites) kui ka kaardil mõõtkava abil. Selleks määrakse vahemaad ühest punktist teise punktini sentimeetrites ja korratakse võrdlusmõõtkavale. Näiteks kaardil võrdlusmõõtkavaga 1 cm - 100 m mõõdeti kaugust 5,8 cm. Arvestame: 5,8*100=580 meetrit.

Interaktiivsed kaardid võimaldavad otse kaudust mõõta.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]