Kasutaja:MarcusOJ/Sinc-funktsioon

Sissejuhatus

Sinc-funktsioon (ik. Sinc function, pärinevus "cardinal sine function") on matemaatiline funktsioon noteeritud kui sinc(x), mis leiab laialdast kasutust erinevates matemaatilistes ning inseneeria rakendustes, kuid tihedaim kasutus on digitaalse signaalitöötluse alal. Seda saab kasutada signaalide taastamiseks, sageduse spektri analüüsimiseks ning filtrite disainimiseks.

Sinc-funktsioon

Üldine definitsioon:

$\operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}$

Kuna sellel kujul jääb $x=0$ defineerimata, siis kirjeldatakse sinc-funktsiooni tavaliselt kui:

$\operatorname {sinc} x={\begin{cases}{\dfrac {\sin x}{x}},&x\neq 0\\[2px]1,&x=0\end{cases}}$

Funktsiooni normaliseeritud kuju:

$\operatorname {sinc} x={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$

Kasutused

Filtrite disainimine

Võttes normaliseeritud sinc-funktsioonist Fourier' pöörde, saab tulemuseks ristkülikukujulise graafiku sagedusedomeenis, mille keskpunkt on f_t = 0. Seda saab kasutada filtrite disainimisel, kuna sinc-funktsioon sagedusedomeenis kirjeldab ideaalset madalpääsfiltrit. Filtri rakendamiseks tuleb sisendsignaal konvoleerida sinc-funktsiooniga.

Filtrid

Madalpääsfilter

Kasutades sinc-funktsiooni digitaalse madalpääsfiltri disainimiseks, tuleb tähele panna, et funktsioon on x-teljel lõpmatu mõlemas suunas. See tekitab filtri mahalõikesageduse juures palju tahtmatuid lainetusi. Seetõttu ei tooda praktikas lihstalt sinc-funktsiooniga konvoleerimine soovitud tulemust. Probleemi lahendamiseks saame muuta sinc-funktsioon lõplikuks. Selleks rakendatakse n.ö. "akna meetodit" (ik. Windowed-Sinc). Enne kui konvoleerida sinc-funktsioon filtreeritava signaaliga kasutatakse akna funktsiooni, et sinc-funktsiooni äärmiste väärtuste kaalu vähendada.

Blackman'i akna funktsioon

Kõrgpääsfilter

Samuti saab sinc-funktsiooni kasutada, et luua digitaalne kõrgpääsfilter. Selle saavutamiseks tuleb võtta sama akendatud sinc-funktsioon ning selle väärtused inverteerida.

$\operatorname {hp} (n)={\begin{cases}{\dfrac {\sin[2\pi f_{t}(n-{\dfrac {M}{2}})]}{\pi (n-{\dfrac {M}{2}})}},&n\neq {\dfrac {M}{2}}\\[2px]1-2f_{t},&n={\dfrac {M}{2}}\end{cases}}$

Kombineerides madalpääsfiltri ning kõrgpääsfiltri on võimalik luua nii ribapääsfilter kui ka ribatõkkefilter.