Aritmeetiline jada

Aritmeetiline jada ehk aritmeetiline progressioon on jada, milles iga kahe järjestikuse liikme vahe on konstantne.

Aritmeetilise jada üldliige avaldub kujul

$a_n = a_0 + n d,$

kus

$a_0$ on aritmeetilise jada esimene element ehk algliige,

$d$ on aritmeetilise jada vahe ja

$n$ = 0,1,2,....

Kõik aritmeetilised jadad, kus d ≠ 0, on tõkestamata jadad. Kui d > 0, siis n → ∞ korral $a_n$ → ∞. Kui d < 0, siis n → ∞ korral $a_n$ → –∞.

Näited

Jada (7, 12, 17, 22, ..., 5n + 7, ...) on aritmeetiline jada algliikmega $a_0$ =7 ja vahega d = 5.

Aritmeetilise jada n esimese liikme summa

Aritmeetilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul

$S_n = a_0 + a_1 + ... + a_{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (a_0 + d k) = n (a_0 + d \frac{n-1}{2})$.

Tõestus

Tõestuseks võib konstrueerida järgmise summa

$2S_n = (a_0 + a_{n-1}) + (a_1 + a_{n-2}) + ... + (a_{n-1} + a_0). \,$

Asendades viimasesse avaldisse pealiikme valemi saame summa

$2S_n = \sum_{k=0}^{n-1} (a_0 + d k + a_0 + d (n - 1 - k)) = \sum_{k=0}^{n-1} (2a_0 + d (n - 1)) = n (2a_0 + d (n - 1)).$

Võrduse poolte jagamine kahega annabki aritmeetilise jada n esimese liikme summa valemi.

Vaata ka

• Geomeetriline jada