Aritmeetiline jada

Allikas: Vikipeedia

Aritmeetiline jada ehk aritmeetiline progressioon on jada, milles iga kahe järjestikuse liikme vahe on konstantne.

Aritmeetilise jada üldliige avaldub kujul

a_n = a_0 + n d,

kus

a_0 on aritmeetilise jada esimene element ehk algliige,
d on aritmeetilise jada vahe ja
n = 0,1,2,....

Kõik aritmeetilised jadad, kus d ≠ 0, on tõkestamata jadad. Kui d > 0, siis n → ∞ korral a_n → ∞. Kui d < 0, siis n → ∞ korral a_n → –∞.

Näited[muuda | redigeeri lähteteksti]

Jada (7, 12, 17, 22, ..., 5n + 7, ...) on aritmeetiline jada algliikmega a_0 =7 ja vahega d = 5.

Aritmeetilise jada n esimese liikme summa[muuda | redigeeri lähteteksti]

Aritmeetilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul

S_n = a_0 + a_1 + ... + a_{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (a_0 + d k) = n (a_0 + d \frac{n-1}{2}) .

Tõestus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Tõestuseks võib konstrueerida järgmise summa

2S_n = (a_0 + a_{n-1}) + (a_1 + a_{n-2}) + ... + (a_{n-1} + a_0). \,

Asendades viimasesse avaldisse pealiikme valemi saame summa

2S_n = \sum_{k=0}^{n-1} (a_0 + d k + a_0 + d (n - 1 - k)) = \sum_{k=0}^{n-1} (2a_0 + d (n - 1)) = n (2a_0 + d (n - 1)).

Võrduse poolte jagamine kahega annabki aritmeetilise jada n esimese liikme summa valemi.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]