Fermat' printsiip

Fermat' printsiip (Pierre de Fermat' järgi) või vähima aja printsiip on printsiip optikas, mis väidab, et valguskiir punktist A punkti B levib mööda teed, mille läbimiseks kulunud aeg on minimaalne.

Fermat’ printsiibist on võimalik tuletada valguse murdumis- (Snelli seadus) ja peegeldumisseadus kahe erineva optilise keskkonna piirpinnal.

Ajalugu

Pierre de Fermat

Aleksandria Heron uuris oma teoses "Catoptrica" valguse peegeldumist, kus ta väitis, et valgus läbib punktist S punkti P peegeldumisel sellise tee, mis on kõige lühem.

1637. aasta alguses kirjutas Descartes oma teoses "Dioptrique", kuidas valgus levib vees ja leidis valemi vähima aja jaoks, ent kasutas olukorra piltlikustamiseks väga veidraid näiteid ega rääkinud katsetest valguse endaga.

Üldise põhimõtte vähima aja printsiibi jaoks avaldas Fermat oma kirjas 1. jaanuaril 1662 Cureau de la Chambre'ile. Kirja sisu kohtas aga tugevat vastuseisu Descartesi austajalt Claude Clerselier'lt, kes oli omal ajal tugev ekspert optikas. Clerselier, nagu ka teisedki Descartesi austajad, ei uskunud, et valguse levimiseks kuluks õhus vähem aega kui vees.

Kaasaegne käsitlus

Valguse poolt lõpmatult väikse lõigu ds läbimiseks on vajalik aeg $dt={\frac {ds}{v}}$ , kus v on valguse kiirus keskkonna antud punktis. Asendades kiiruse valemist $n={\frac {c}{v}}$ kus c on valguse kiirus vaakumis ning n keskkonna murdumisnäitaja, näeme, et $dt={\frac {nds}{c}}$ . Järelikult saame punktide A ja B vahelise tee läbimiseks kuluva aja arvutada valemist.

$t={\frac {1}{c}}\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds\$

Fermat’ printsiibi kohaselt peab t olema minimaalne. Kuna valguse kiirus vaakumis on konstantne siis ekstreemumi tingimus kehtib ka järgneva suuruse kohta.

$L=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds\$

Suurust L nimetatakse optiliseks teepikkuseks. Homogeenses keskkonnas on optiline teepikkus võrdne geomeetrilise teepikkuse s ja murdumisnäitaja n korrutisega.

$L=n\,s\$

Lähtuvalt eelnevast võib Fermat’ printsiibi formuleerida järgmiselt: valgus levib mööda sellist teed, mille optiline teepikkus on minimaalne.

Peegeldumisseadus

Peegeldumisseaduse tuletamine

Vaatleme peegeldumist kahe keskkonna piirpinnal punktis C (vaata joonist). Kuna valgus levib ühes keskkonnas, siis valguse kiirus on konstantne ning seeläbi vähima aja leidmine taandub minimaalse teepikkuse leidmisele.

Kogu optiline teepikkus: $S=A\,B\ +C\,B\ ={\sqrt {h_{1}^{2}+a^{2}}}+{\sqrt {h_{2}^{2}+b^{2}}}$

Leiame sellise c koordinaadi, millele vastab minimaalne optiline teepikkus. Selleks leiame funktsiooni $S(c)$ miinimumi:

${\frac {dS}{dc}}={\frac {a}{\sqrt {h_{1}^{2}+a^{2}}}}-{\frac {c-a}{\sqrt {h_{2}^{2}+(c-a)^{2}}}}$

ehk

$(c-a)^{2}(h_{1}^{2}+a^{2})=a^{2}(h_{2}^{2}+(c-a)^{2})$

$(c-a)^{2}h_{1}^{2}=a^{2}h_{2}^{2}$

$a_{1},_{2}={\frac {2c\pm {\sqrt {4c^{2}-4(1-({\frac {h_{2}}{h_{1}}})^{2})c^{2}}}}{2(1-({\frac {h_{2}}{h_{1}}})^{2})}}=c{\frac {1\pm {\frac {h_{2}}{h_{1}}}}{1-({\frac {h_{2}}{h_{1}}})^{2}}}={\frac {c}{1\pm {\frac {h_{2}}{h_{1}}}}}$

kuna $a<c$, siis $a={\frac {c}{1+{\frac {h_{2}}{h_{1}}}}}=c{\frac {h_{1}}{h_{1}+h_{2}}}$

Vaatame, millega võrduvad nurkade $\alpha$ ja $\beta$ tangensid ja võrdleme neid omavahel.

$\tan(\alpha )={\frac {h_{1}}{a}}={\frac {h_{1}+h_{2}}{c}}$

$\tan(\beta )={\frac {h_{2}}{c-a}}={\frac {h_{2}}{c(1-{\frac {h_{1}}{h_{1}+h_{2}}})}}={\frac {h_{1}+h_{2}}{c}}$

$\tan(\alpha )=\tan(\beta )\rightarrow \alpha =\beta$

Näeme, et nurgad on võrdsed. Seega saamegi peegeldumisseaduse ühe tingimuse, mis ütleb, et valguse langemisnurk on võrdne peegeldumisnurgaga.

Murdumisseadus

Murdumine kahe keskkonna piirpinnal

Kuna valgusel on eri keskkondades erinev kiirus, siis punktist A punkti B liikumisel ei ole sirgjooneline liikumine ajaliselt kõige optimaalsem. Tinglikult öeldes soovib valgus võimalikult palju liikuda seal, kus saab kiiresti liikuda, ning vastupidi: võimalikult vähe seal, kus liikumine on aeglasem. Seega keskkondade piirpinnal valguskiir muudab oma suunda – murdub.

Murdumisnurk $\gamma$ sõltub (vaata joonist):

$t={\frac {S}{v}}$

$v={\frac {c}{n}}$

$b=d-a$

Kogu ajavahemik:

$t=t_{1}+t_{2}={\frac {\sqrt {a^{2}+h_{1}^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+h_{2}^{2}}}{v_{2}}}={\frac {n_{1}{\sqrt {a^{2}+h_{1}^{2}}}}{c}}+{\frac {n_{2}{\sqrt {b^{2}+h_{2}^{2}}}}{c}}$

Funktsiooni $t(a)$ miinimumi leidmine:

${\frac {dt}{da}}={\frac {\partial t}{\partial a}}+{\frac {\partial t}{\partial b}}{\frac {db}{da}}={\frac {n_{1}a}{c{\sqrt {a^{2}+h_{1}^{2}}}}}-{\frac {n_{2}b}{c{\sqrt {b^{2}+h_{2}^{2}}}}}=0$

Jooniselt on näha, et ${\frac {a}{\sqrt {a^{2}+h_{1}^{2}}}}=\sin(\alpha )$ ja ${\frac {b}{\sqrt {b^{2}+h_{2}^{2}}}}=\sin(\gamma )$

Seose $n_{1}\sin(\alpha )-n_{2}\sin(\gamma )=0$ ehk ${\frac {sin(\alpha )}{sin(\gamma )}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$ saamine

Valguse levimine lineaarselt muutuva murdumisnäitajaga keskkonnas $n=ax$

Valguse levimine lineaarselt muutuva murdumisnäitajaga keskkonnas

Aja integraali minimeerimine: $t=\int dt$

$dt={\frac {ds}{v}}$ ning $v={\frac {ds}{dt}}$

$t=\int dt=\int {\frac {ds}{ds}}dt=\int {\frac {ds}{v}}=\int {\frac {ax}{c}}ds={\frac {a}{c}}\int x{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\frac {a}{c}}\int x{\sqrt {1+({\frac {dy}{dx}})^{2}}}={\frac {a}{c}}\int x{\sqrt {1+y'^{2}}}dx$

Selleks, et eelnevat integraali minimeerida, kasutatakse Euleri-Lagrange'i võrrandit.

${\frac {\partial L}{\partial y(x)}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial y'(x)}}=0$

Kus $L$ on Lagrange'i funktsioon. Antud juhul $L=x{\sqrt {1+y'^{2}}}$

Kuna ${\frac {\partial L}{\partial y}}=0$ , siis ${\frac {\partial L}{\partial y'}}={\frac {xy'}{{\sqrt {1}}+y'^{2}}}=C_{1}$, kus $C_{1}=const$

Edasi teisendades

$x^{2}y'^{2}=C_{1}^{2}(1+y'^{2})$

$(x^{2}-C_{1}^{2})y'^{2}=C_{1}^{2}$

${\frac {dy}{dx}}={\sqrt {\frac {C_{1}^{2}}{x^{2}-C_{1}^{2}}}}$

$y=\int {\sqrt {\frac {C_{1}^{2}}{x^{2}-C_{1}^{2}}}}dx=C_{1}\operatorname {acosh} \,({\frac {x}{C_{1}}})+C_{2}$

$C_{2}\rightarrow -c_{2},C_{1}\rightarrow c_{1}$

$x=c_{1}\operatorname {cosh} \,({\frac {y+c_{2}}{c_{1}}})$

Trajektoori puutuja tõus

Konstandid saab leida tingimustest:

$x_{0}=c_{1}\operatorname {cosh} \,({\frac {y_{0}+c_{2}}{c_{1}}})$ ja $x_{1}=c_{1}\operatorname {cosh} \,({\frac {y_{1}+c_{2}}{c_{1}}})$

või

$x_{0}=c_{1}\operatorname {cosh} \,({\frac {y_{0}+c_{2}}{c_{1}}})$ ja $\left.{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}\right|_{y_{0}}=c_{1}\operatorname {sinh} \,({\frac {y_{0}+c_{2}}{c_{1}}})=\tan(\beta _{0})$

Teisel juhul:

$({\frac {x_{0}}{c_{1}}})^{2}=\operatorname {cosh} \,^{2}({\frac {y_{0}+c_{2}}{c_{1}}})$

$\tan ^{2}(\beta _{0})=\operatorname {sinh} \,^{2}({\frac {y_{0}+c_{2}}{c_{1}}})$

ja kasutades seost $\operatorname {cosh} \,^{2}(\sigma )-\operatorname {sinh} \,^{2}(\sigma )=1$, saame

$({\frac {x_{0}}{c_{1}}})^{2}-\tan ^{2}(\beta _{0})=1\rightarrow c_{1}={\frac {x_{0}}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\beta _{0})}}}=x_{0}\cos(\beta _{0})$

Asendades eelneva konstandi avaldisse $x_{0}=c_{1}\operatorname {cosh} \,({\frac {y_{0}+c_{2}}{c_{1}}})$,saame

$c_{2}=c_{1}\operatorname {acosh} \,({\frac {x_{0}}{c_{1}}})-y_{0}=x_{0}\cos(\beta _{0})\operatorname {acosh} \,({\frac {1}{\cos(\beta _{0})}})-y_{0}=x_{0}\cos(\beta _{0})\operatorname {ln} \,({\frac {1+\sin(\beta _{0})}{\cos(\beta _{0})}})-y_{0}$

Kokkuvõttes

$x=x_{0}\cos(\beta _{0})\operatorname {cosh} \,({\frac {y-y_{0}}{x_{0}\cos(\beta _{0})}}+\operatorname {ln} \,({\frac {1+\sin(\beta _{0})}{\cos(\beta _{0})}})),x\geq {\frac {1}{\alpha }}$

Looduses

Sipelgate liikumine

Sipelgad käituvad üsna sarnaselt valgusega, valides punktist A punkti B liikumisel enda jaoks kõige optimaalsema teekonna. Kui neil on valida mitme trajektoori vahel, kus kõige lühem tee ei pruugi ajaliselt olla kõige kiirem, siis nad valivad raja, mis võtab liikumiseks kõige vähem aega, täpselt nagu valgus.