Fermat’ printsiip

Allikas: Vikipeedia
Merge-arrow.svg See artikkel on esitatud liitmiseks artikliga Fermat' printsiip. Lisateavet artikli arutelust

Fermat' printsiip[muuda | muuda lähteteksti]

Fermat' printsiip on geomeetrilise optika põhiprintsiip. Formuleeris P.Fermat' 1662 a. [1]

Oma lihtsamal kujul Fermat printsiip väidab, et valgus levib ühest punktist teise mööda sellist teed, mille läbimiseks kuluv aeg τ on minimaalne. Kui v on valguse kiirus keskkonnas, siis lõpmatu lühikese teepikkuse ds läbimiseks kuluv aeg avaldub selliselt . Valguse kiirus v keskonnas avaldub nii , kus n on keskkonna murdumisnäitaaja ja c valguse kiirus vaakumis. Seega kahe punkti (1 ja 2) vahelise teepikkuse läbimiseks kuluv aeg on kirja pandav nii

.

kuivõrd c on konstantne siis Fermat' printsiibi kohaselt levib valgus punktist 1 punkti 2 mööda teed, mille korral suurus

on minimaalne. Seda suurust nimetatakse optiliseks teepikkuseks. Niisiis võib Fermat' printsiipi formuleerida ka optilise teepikkuse kaudu. Valgus levib punktist 1 pukti 2 mööda teed, mille korral on optiline teepikkus minimaalne. Näitame, et Fermat' printsiibist tulenevad geomeetrilise optika olulised seaduspärasused.

Valguse sirgjooneline levimine[muuda | muuda lähteteksti]

Kui keskkond on homogeenne so keskkonna murdumisnäitaja n on sama suur igas keskkonna punktis, siis levib valgus punktist 1 punkti 2 nii, et minimaalne oleks integraal

.

See integraal esitab teepikkuse kui liikuds ühest punktist teise juurde. Fermat' printsiibi kohaselt levib valgus kõigist võimalikest teedest kõige lühemat pidi. On teada, et kõige lühem tee kahe punkti vahel on neid punkte ühendaval sirgjoonel. Järelikult levib valgus homogeenses keskkonnas sirgjooneliselt.

Valguse peegeldumise seadus[muuda | muuda lähteteksti]

Joonis 1

Kui valgus langeb mingile pinnale siis ta peegeldub.Valguse peegedumise seaduse saab tuletada lähtudes Fermat' printsiibist [2]. Joonise 1 tähistab PP peegeldavat pinda. Valgus lähtub punktist A, peegeldub punktis O ja seejärel jõuab punkti B. Valguse langemispunktis O pinnale PP on näidatud selle pinna normaal ON. Vastavalt Fermat' printsiibile läbib valgus selle teekonna nii, et optiline teepikkus S on minimaalne. Kui punktide A ja B asend on peegeldava pinna PP suhtes fikseeritud, siis sõltub optiline teepikkus S peegelduspunkti O asendist peegedaval pinnal. Määrame punkti O asendi peegeldaval pinnal tema kaugusega x punktist A1. Olgu kaugus punktide A1 ja B1 vahel võrdne b. S avaldub siis nii:

.

S miinimumi leidmiseks tuleb arvutada S tuletis x järgi ning võrdsusdada see nulliga

.

Järelikult kehtivad järmised seosed

 :: ::

Järelikult peegeldumisel on valguse peegeldumisnurk võrdne langemisnurgaga. See ongi peegeldumisseadus.

Valguse murdumisseadus[muuda | muuda lähteteksti]

Joonis 2

Valguse murdumine (valguskiire levimise suuna hüppeline muutumine) toimub kahe erineva keskkonna lahutuspiiril [3]. Eeldame, et keskonnad on läbipaistvad, homogeensed ja nende murdumisnäitajad on n1 ja n2 (vt joonis 2). Keskkondade lahutuspind on joonise tasandiga risti ja lõikab seda joonel PP. N1N2 on normaal lahutuspinnale. Punktist A punkti B jõudmiseks läbib kiir esimeses keskkonnas lõigu AO pikkusega s1 ja teises keskkonnas lõigu OB pikkusega . Optilne teepikkus avaldub selliselt:

.

Ferma' printsiibi kohaselt levib valgusmööda sellist teed, mille korral S on minimaalne. Olgu lõik A1B1=b, mis on siin konstantne suurus ja A1O=x, mille pikkus tuleb valida nii, et S oleks minimaalne. Täisnurksete kolmnurkade AOA1 ja BOB1 põhjal leiame, et

.

Optilne teepikkus S valguse levimisel punktist A punkti B sõltub siin pnkti O asendist lõigul A1B1 ehk x suurusest. Seega S miinimumi leidmiseks tuleb arvutada S tuletis x järgi ning võrsustada see nulliga.

Sellest järeldub, et

ja

Viimane seos ongi murdumisseadus (ka Snelliuse seadus).


Ferma' printsiibi täpsem (üldisem) formulatsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Artikli alguses toodud Fermat' printsiibi formulatsioon ei kata siiski kõiki geomeetrilises optikas käsitletavaid olukordi [2]. Üldjuhul Ferma' printsiip väidab, et valgus levib ühest punktist mööda sellist trajektoori, mille korral optiline teepikkus S on kas minimaalne või maksimaalne aga võib olla ka konstantne. Viimane tähendab seda, et valgus võib levida ühest punktist teise mööda erinevaid teid, kuid millistele vastav optiline teepikkus on kõigil sama. Selline olukord tekib näiteks siis, kui valgus, mis lähtub ühest pöördellipsoidi fookusest (F1 joonisel 3) ja peegeldudes tema nõgusalt pinnalt (näiteks punktides O1, O2 ja O3) jõuab teise fookusesse (F2).

Joonis 7.png

Meenutame, et ellipsi suvalise punkti kauguste summa mõlemast fookusest on konstantne. Pöördellipsoidi abil saab kirjeldada ka olukorda, kus valgus levib ühest punktist teise mööda pikimat teed mööda. Joonisel 3 on pöördellipsoidi punktis O3 puutes nõgus pind N1N2. Selle pinna kõveruraadius on väiksem kui pöördellipsoidi oma samas punktis. Kui valida pinnal N1N2 punkt, mis ei lange kokku punktiga O3 ja arvutada selle punkti kauguste summa fookustest, siis on see summa ilmselt väiksem kui sama suurus arvutatuna punkti O3 jaoks. Kui F1 lähtunud valguskiir ei satu pinna N1N2 punkti O3, siis ei jõua ta ka fookusesse F2. Seega peegeldudes pinnalt N1N2 jõuab punktist F1 punkti F2 kiir, mille jaoks on optiline teepikkus maksimaalne.

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Fermat P.,Oeuvres P.,(v 1-5),1891-1922
  2. 2,0 2,1 Фриш С. Э., Тиморева А.В.,Курс общей физики, том 3, Москва, 1957.
  3. Saveljev I., Füüsika üldkursus, köide 3, kirjastus "Valgus", 1979.