Sämplimine

Allikas: Vikipeedia
Artiklit tuleb tõlkida ja kohandada!
Merge-arrow.svg
See artikkel on esitatud liitmiseks artikliga Kvantimine. Lisainfot artikli arutelust

Sämplimine ehk diskreetimine ehk kvantimine on signaalitöötluses pidevsignaali redutseerimine diskreetsignaaliks. Sellise konversiooni tüüpiliseks näiteks on ajaliselt pideva (continuous-time) analoogsignaali, näiteks analoogse helisignaali, konverteerimine ajaliselt diskreetseks (discrete-time) sämplite seeriaks (sequence of samples) ehk digitaalsignaaliks.

Sämpel tähendab sämplimisel aeg-ruumilise punkti väärtust või väärtuste hulka.

Sämpler on allsüsteem või operaator, mis tuletab pidevsignaalist sämpleid. Teoreetilise ideaalse sämpleri puhul korrutatakse pidevat signaali Dirac combiga. Korrutamine "tõstab esile" ("picks out") küll väärtusi, kuid tulemus on siiski pidevate väärtustega (continuous-valued). Kui sellist signaali seejärel diskreetida (discretize), st konverteerida see sämplite seeriaks (sequence) ning kvantida (quantize) piisavalt kõik parameetrid (dimension), on tulemuseks diskreetsignaal (discrete signal).

Teooria[muuda | redigeeri lähteteksti]

Diskreetimisteoreem[muuda | redigeeri lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Nyquist–Shannoni teoreem

Nyquist–Shannoni teoreem sedastab, et signaali perfektne rekonstruktsioon on võimalik juhul, kui sämplimissagedus on suurem kui kahekordne algses signaalis esinev maksimumsagedus[1] või vastavalt, kui Nyquisti sagedus ehk pool sämplimissagedusest ületab sämplitava signaali suurima sageduse. Kui kasutada madalamat sämplimissagedust, võib osutuda võimatuks sämplitud signaalist algse signaali taastamine.

Näiteks kui signaali mõni sagedustest on suurem kui sagedusriba piir 100 Hz, võib 200 Hz-st suurem sämplimissagedus ära hoida aliase efekti (aliasing) ning võimaldama teoreetiliselt perfektset rekonstruktsiooni.

Tavaliselt me räägime signaalist kui ajalisest muutujast. Samas võib samu põhimõtteid rakendada ka signaali ruumi- ja muude parameetrite puhul.

Olgu x(t) pidev signaal, mida sämplitakse iga T-s sekund. Niisiis on sämplitud signaal x[n] esitatav kujul

x[n] = x(nT), kui n = 0, 1, 2, 3, ...

Sämplimissagedus (sampling frequency) ehk sämplimiskiirus (sampling rate) fs on arv, mis määratleb, mitu sämplit mahub ühte sekundisse, ehk fs = 1/T. Sämplimistihedust mõõdetakse hertsides ehk sämplit per sekund.

Võib küsida, millistes tingimustes on võimalik taastada täielik ja täpne algne signaal (perfektne rekonstruktsioon)?

Osalise vastuse annab Nyquist–Shannoni sämplimise teoreem, mis pakub piisava (kuid mitte alati vajaliku) tingimuse signaali perfektseks rekonsturueerimiseks. Teoreemiga on tõestatud, et signaal on täielikult rekonstrueeritav, kui sämplimissagedus ületab vähemalt kaks korda signaalis esineva maksimaalse sageduse. Rekonstrueerimisel on sellisel juhul võimalik kasutada Whittaker–Shannoni interpolatsioonivalemit (Whittaker–Shannon interpolation formula).

Üks kahele sämplimissageduse valimisel on sageduse väärtuseks sämplitavas signaalis esinev kõrgeim sagedus. Seda sagedust, mis on pool sämplimissagedusest, nimetatakse sämplimissüsteemi Nyquisti sageduseks (Nyquist frequency). Nyquisti sagedusest kõrgemal asuvaid sagedusi fN võib kätte saada ka sämplitud signaalis, kuid nende täpne sagedus on ebaselge. Seda seetõttu, et sageduskomponenti sagedusega f ei ole võimalik eristada teistest komponentidest sagedusega NfN + f ja NfNf juhul, kui N ei võrdu 0. Sellist kahetähenduslikkust tähistatakse mõistega aliase efekt (aliasing). Et lahendada see probleem nii hästi kui võimalik, filtreeritakse analoogsignaalid enamasti aliase efekti vastase (anti-aliasing) filtriga, mis tavaliselt on madalsagedusfilter (low-pass filter), lõigates enne sämplitud diskreetset representatsiooni ära sagedused Nyquisti sageduse lähedalt.

Nyquist–Shannoni sämplimise teoreemi üldisem järeldus on, et Nyquisti sagedusest vähem või rohkem kõrgemaid sagedusi on võimalik sämplida infokadudeta, tulenedes nende nullist suuremast sagedusriba laiusest (bandwidth), mis on samas piisavalt kitsas, et vältida mitmetähenduslikkust ning mille piirid on teada.

Sämplimisintervall[muuda | redigeeri lähteteksti]

Sämplimisintervall on intervall T = 1/fs, mis vastab sämplimissagedusele [1].

Vaatlusperiood[muuda | redigeeri lähteteksti]

Vaatlusperiood (observation period) on ajavahemik, mille jooksul kogutakse mingi regulaarse ajavahemiku tagant sämplite seeriaid (series of data samples) [2]. Üldiselt võib ajavahemikuks olla iga periood, sõltumata sellest, kas andmete esinemine on olemuselt perioodiline või mitte. Samuti pole oluline, kas saadud andmed esindavad ajaintervalli jooksul toimunud juhusliku ajastatusega (timing) diskreetsete sündmuste hulka või on sämplid selgelt piiratud teatud all-intervalliga (sub-interval). Nii uuritakse maavärinaid või tsunamisid kosmilise aja, mitte ühe aasta või sajandi lõikes.

Ülesämplimine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Mõnel juhul on soovitav kasutada märgatavalt suuremat sämplimissagedust kui kahekordne süsteemi sagedusriba laius, nii et nõrgema analoogse aliase efekti vastase filtri (anti-aliasing filter) asemel võib kasutada digitaalset filtrit. Seda protsessi nimetatakse ülesämplimiseks[2].

Praktika[muuda | redigeeri lähteteksti]

Praktikas sämplitakse pidevat signaali analoog-digitaal-konverteri (analog-to-digital converter, ADC) abil, mis on tavaliselt paljude füüsiliste piirangutega ideaalikauge aparaat ja mille töö tulemused lahknevad tublisti teoreetilisest perfektsest rekonstruktsioonist, väljendudes helimoonutustes. Helimoonutusi on erinevat tüüpi:

  • aliase efekt (aliasing). Sämplimise teoreemi eeltingimuseks on, et signaal on piiratud sagedusribaga (bandlimited). Tegelikult praktikas ei ole ükski ajaliselt piiratud (time-limited) signaal piiratud sagedusribaga. Kuna meid huvitavad signaalid on peaaegu alati ajaliselt piiratud, st nende kestus mahub tavaliselt sämpleri tööea sisse, siis sellest tulenevalt nad ei ole tavaliselt piiratud sagedusribaga[viide?]. Loomulikult on võimalik ehitada sellise sagedusriba laiusega (guard band) sämpler, et saadav tulemus on nii täpne kui vaja.
  • integratsiooniefekt (integration effect) ehk apertuuriefekt (aperture effect), mis tuleneb faktist, et sämpel esindab pigem sämplitava piirkonna väärtuse ajalist keskmist (time average), kui on võrdne signaali väärtusega sämplimismomendil. Integratsiooniefekt on hõlpsalt tähelepandav fotograafias, kui liiga pikk säriaeg tekitab pildile ähmaseid laike. Ideaalse kaamera säriaeg peaks olema null. Kondensaatoripõhiste (capacitor-based) sämpli-ja-hoia-tüüpi (sample and hold) vooluringi puhul tekib integratsiooniefekt, kuna kondensaator pole võimeline momentaanselt vahetama pinget, tuues kaasa nullist erineva laiusega sämpli.
  • jitter (jitter, värin) ehk sämpli täpse ajavahemiku hälve.
  • müra (noise), sisaldades nii termilise sensor, analoogse seadme vms. müra.
  • ümberpöördetiheduse (slew rate) piirangu viga, mis seisneb analoog-digitaal-konverteri võimetuses vahetada väljundi väärtust piisavalt kiiresti.
  • kvantisatsioon (quantization) sõnade lõpliku täpsuse mõjutajana, tekkides väärtuste konverteerimisel
  • Muud mittelineaarsetest efektidest tingitud vead, mis tekivad lisaks kvantisatsiooniefektidele sisendpinge konverteerimisel väljundväärtusteks.

Tavaline praktiline digitaal-analoog-konverter (digital-to-analog converter ehk DAC) ei väljasta dirac delta impulsside (dirac delta impulses) seeriat, vaid tükeldatud konstantseid väärtusi või kandikujulisi impulsse (rectangular pulses). Seda juhul, kui analoogne signaal on madalsagedusfiltriga enne sämplimist ideaalselt filtreeritud.

Sm-Wikipuzzlepiece.png   Tõlkimine pooleli, palun aita tõlkida!

<!-- seda teksti pole näha -->



Jitterit (jitter), müra ja kvantimist analüüsitakse tihti sämpli väärtustele juhuslike vigade lisamisega. Integratsiooni ja ??? (zero-order hold) efekte võib analüüsida kui madalsagedusfiltreerimise vorme. Kas ADC või DAC-i puhul esinevat mittelineaarsust võib analüüsida, asendades ideaalne lineaarse funktsiooni mõne mittelineaarse finktsiooniga.

Rakendused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Audiosignaali sämplimine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Sämplimissagedus[muuda | redigeeri lähteteksti]

(sampling rate)

Vaata ka: Sämplimissagedus

Kui vaja on sämplida helisignaali vahemikus 20 – 20 000 Hz, mis on umbkaudne inimese kuulmispiirkond, on tüüpiliseks sämplimissageduseks 44 100 Hz (audio-CD standard) või 48 kHz (enamasti filmis kasutatav professionaalse audio sämplimissagedus). Selline umbes kahekordne sämplimissagedus võrreldes inimese kuulmislaega vastab Nyquisti teoreemile.

Tänapäeval levinud suunaks on heli kvaliteedi parandamise huvides kasutada kõrgemaid sämplimissagedusi: 96 000 Hz, 192 000 Hz ja isegi 2 822 400[3]. See praktika on vastuolus laboratoorsete katsetega, mille käigus pole õnnestunud näidata, et inimene oleks võimeline kuulma ultrahelisagedusi, kuigi mõnedel juhtudel ultrahelid mängivad rolli kuuldava heli sagedusspektri puhul (näiteks intermodulation distortion). On tähelepanuväärne, et ??? (intermodulation distortion) ei ole küll elava audiosignaali puhul kuulda, ometi on sellel roll elava heli ebaloomuliku värvingu tekkimisel[4].

Üks kõrgema sämplimissageduse eeliseid on küll see, et nad võivad vabastada madalsagedusfiltrite ehituslikke võimalusi ADC-ks või DAC-ks, kuid seoses moodsa ülesämplimisega sigma-delta-konverterites (sigma-delta converter) on see eelis vähem tähtis.

Bitisügavus ehk kvantisatsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

(bit depth (quantization))

Audiosignaal on tüüpiliselt salvestatud bitisügavusega 8, 16 ja 20 bitti, mis vastab teoreetilisele maksimumsignaalile müra kvantiseerimisel SQNR suhtes siinusheliga umbes 49,93 dB, 98,09 dB ja 12217 dB juures[5].

8-bitine audiosignaali ei kasutata üldiselt sellele olemuslikult omase tugeva kvantisatsioonimüra (quantization noise) (low maximum SQNR) tõttu, kuigi A-law- ja u-law- 8-bitine koodipakett (encodings pack) tõstes resolutsiooni 8 bitini, suurendab samas üldist harmoonilist moonutust (total harmonic distortion ehk THD).

CD kvaliteediga audiosignaal salvestatakse 16-bitisena. Praktikas pole enamus tavatarbija kasutuses olevaid stereosüsteeme võimelised tekitama üle 90 dB valjusega heli, ning vaid mõned süsteemid on võimelised tekitama kuni 100 dB valjust heli. Bittide puhul on tegelikuks arvuks, mida kvantisatsioonis kasutada, termilise müra (thermal noise) piirid . Mõnedel analoogsüsteemidel võib signaalist müraks ülemineku piir (signal to noise ratio, SNR) ulatuda 120 dB-ni. Järelikult on mõningatel juhtudel vajalik enam kui 20-bitist kvantisatsiooni (quantization).

Mahamängimise ja salvestamise puhul juba audiosüsteemide puhas tüüpiliste programmitasandite analüüs näitab, et isegi hästi teostatud (well-engineered) 16-bitise materjali võimekus on kaugel piiridest, mis on omased kõige parematele hi-fi süsteemidele, mille puhul mikrofoni müra ning kõlari ??? (loudspeaker headroom) on tõeliseks piiravaks teguriks[viide?].

Kõnesignaali sämplimine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kõnesignaale ehk signaale, mis on mõeldud inimese kõne edasikandmiseks, võib üldiselt sämplida palju madalama sämplimissagedusega. Enamus foneeme jääb helisagedusribasse 5 Hz – 4 kHz, vajades seega sämplimissageduseks 8 kHz. Sellist sämplimissagedust kasutatakse enamasti telefonisüsteemides, milles kasutatakse G.711 sämplimise ja kvantisatsiooni spetsifikatsiooni.

Videosignaali sämplimine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Standardse televisioonisignaali (standard-definition television, SDTV) puhul kasutatakse telepildi nähtava piirkonna jaoks resolutsiooni kas 720 * 480 pikselit (USA NTSC 525-line süsteem) või 704 * 576 pikselit (UK PAL 625-line süsteem).

Kõrgklassi televisioonisignaali (high-definition television, HDTV) puhul on kasutusel standardid 720p (progressive), 1080i (interlaced) ja 1080p (progressive, tuntud ka kui Full-HD), mida peaksid näitama kõik 'HD-Ready' märkusega seadmed.

IF/RF sagedusriba (bandpass) sämplimine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Plot of sample rates (y axis) versus the upper edge frequency (x axis) for a band of width 1; grays areas are combinations that are "allowed" in the sense that no two frequencies in the band alias to same frequency. The darker gray areas correspond to undersampling with the maximum value of n in the equations of this section.

Reaalsel signaalil on Fourier spekter (Fourier spectra), mis on nulli suhtes sümmeetriline. Mitmekordsel sagedusel sämplimisel vahetatakse spektri mõlemad pooled. Aliase efekti (aliasing) vältimise tingimuseks on, et ükski sellisel viisil vahetatud spektri koopia ei kattuks (overlap).

???-signaali (bandpass ehk non-baseband) puhul, mille madala ja kõrge sagedusriba piirid on vastavalt fL ja fH, aktsepteeritava sämplimissageduse tingimuseks on see, et sagedusriba fL vahetamisel fH ning –fH vahetamisel –fL ei tohi toimuda kattumisi (overlap) vahetamisel kõiki arve korrutada sämplimissagedusega fs. Seda tingimust väljendab valem:[6][7]

\frac{2 f_H}{n} < f_s < \frac{2 f_L}{n - 1}, for some n satisfying:  1 \le n \le \left\lfloor \frac{f_H}{f_H-f_L} \right\rfloor

Suurim n, mille puhul see tingimus on täidetud, annab madalaima võimaliku sämplimissageduse.

Sedalaadi tähtsaimateks signaalideks on raadio kesksagedus (intermediate-frequency, IF) või raadiosagedus (radio-frequency, RF).

Kui n > 1 või kasutades võrreldes spektrumi ülemise piiriga Nyquisti sagedusest 2fH allapoole jäävat sämplimissagedust, siis toimub sämplimine, mida nimetatakse alasämplimiseks (undersampling) ehk ??? (bandpass sampling). Alasämplimise tulemuseks võib vastavalt Nyquisti kriteeriumile (Nyquist criterion) olla aliase efekt (aliasing). Samas antud sämplimissageduse korral on võimalik arvutada signaali spektririba allpool esitatud valemite abil.

Spectrum of the FM radio band (88–108 MHz) and its baseband alias under 44 MHz (n = 5) sampling. An anti-alias filter quite tight to the FM radio band is required, and there's not room for stations at nearby expansion channels such as 87.9 without aliasing.
Spectrum of the FM radio band (88–108 MHz) and its baseband alias under 56 MHz (n = 4) sampling, showing plenty of room for bandpass anti-aliasing filter transition bands. The baseband image is frequency-reversed in this case (even n).

Teisalt, sämplitud IF or RF signaalide puhul ei ole nende rekonstrueerimine tihti eesmärgiks. Pigem peab sämplite seeria väljendama ligilähedaselt sagedusriba ning võimaldama sellelt pinnalt digitaalset demodulatsiooni, tuvastades spektrumi peegeldusi ükskõik millise n väärtuse korral.


Näited[muuda | redigeeri lähteteksti]

Järgnevalt on illustreeritud alasämplimist FM-raadio näitel.

FM-raadio[muuda | redigeeri lähteteksti]

Ameerika Ühendriikides kasutatakse FM-raadio puhul sagedusriba vahemikus fL = 88 MHz ja fH = 108 MHz. Sagedusriba laiuseks on

 W = f_H - f_L = 108 \ \mathrm{MHz} - 88 \ \mathrm{MHz} = 20 \ \mathrm{MHz}

Sämplimise tingimused oleks rahuldatud, kui

1 \le n \le \lfloor 5.4 \rfloor = \left\lfloor { 108 \ \mathrm{MHz} \over 20 \ \mathrm{MHz} } \right\rfloor

Seega n võib olla 1, 2, 3, 4 või 5.

Kui n = 5, siis madalaim sämplimissagedus asub vahemikus 43.2\ \mathrm{MHz}<f_\mathrm{s}<44\ \mathrm{MHz} ning sellisel juhul on tegemist alasämplimisega. Juhul, kui signaali spekter satub vahemikku 2 kuni 2.5 korda sämplimissagedus (kõrgem kui 86,4 – 88 MHz, kuid madalam kui 108–110 MHz).

Muutuja n väiksem väärtus viib ka päris suure sämplimissageduseni. Näiteks kui n = 4, siis FM sageduste spekter satub hõlpsasti vahemikku 1,5 kuni 2,0 korda sämplimissagedus, eeldades sämplimissageduseks ligi 56 MHz.


Sm-Wikipuzzlepiece.png   Tõlkimine pooleli, palun aita tõlkida!

<!-- seda teksti pole näha -->



Õige filtri valimine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kui sagedusriba sämplida n > 1, siis aliase efekti vastase filtrina tuleks madalsagedusfiltri (low-pass filter) asemel kasutada ??? (band-pass filter).

Normaalne põhiriba (baseband) rahuldav tingimus reverseeritavale (reversible) sämplimisele on, kui X(f) = 0 väljaspool ??? (open interval) : \left(-\frac12f_\mathrm{s},\frac12f_\mathrm{s}\right),

ja rekonstrueeriv interpolatsioonifunktsioon (reconstructive interpolation function) ehk madalsagedusfiltri ??? (impulse response) on \operatorname{sinc} \left( t/T \right) .

Alasämplimist kohandades (to accommodate undersampling) on kogu sagedusriba tingimuseks (bandpass condition), et väljaspool avatud positiivsete ja negatiivsete sageduste ühendi piire (outside the union of open positive and negative frequency bands) on X(f) = 0


    \left(-\frac{n}2f_\mathrm{s},-\frac{n-1}2f_\mathrm{s}\right)
    \cup\left(\frac{n-1}2f_\mathrm{s},\frac{n}2f_\mathrm{s}\right)
  for some positive integer n\,.

mis sisaldab normaalset põhiriba (baseband) tingimust, kui n = 1 (välja arvatud, kui intervallid satuvad (come together) 0-sageduse juures, kus nad on suletud (they can be closed)).

Vastav interpolatsioonifunktsioon on ??? (bandpass filter), mis on ??? (given by this difference of lowpass impulse responses):

n\operatorname{sinc} \left(\frac{nt}T\right) - (n-1)\operatorname{sinc} \left( \frac{(n-1)t}T \right) .

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  • Matt Pharr and Greg Humphreys, Physically Based Rendering: From Theory to Implementation, Morgan Kaufmann, July 2004. ISBN 0-12-553180-X. The chapter on sampling (available online) is nicely written with diagrams, core theory and code sample.
  • Shannon, Claude E., Communications in the presence of noise, Proc. IRE, vol. 37, pp. 10–21, Jan. 1949.

Välislingid[muuda | redigeeri lähteteksti]